Bài 2 trang 113

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AA', C'D', AD'. Chứng minh rằng:

a) NQ // A'D' và $NQ=\frac{1}{2}{A}^{\prime }{D}^{\prime }$.

b) Tứ giác MNQC là hình bình hành.

c) MN // (ACD').

d) (MNP) // (ACD').

Lời giải chi tiết

a) Ta có: N là trung điểm của AA’ nên $\frac{AN}{A{A}^{\prime }}=\frac{1}{2}$.

Q là trung điểm của AD’ nên $\frac{AQ}{A{D}^{\prime }}=\frac{1}{2}$.

Theo định lý Thales đảo, ta có NQ // A’D’.

Suy ra $\frac{NQ}{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{AN}{A{A}^{\prime }}=\frac{1}{2}$ nên$NQ=\frac{1}{2}{A}^{\prime }{D}^{\prime }$.

b) Ta có: NQ // A’D’ mà A’D’ // BC nên NQ // BC hay NQ // MC (1)

Ta có $NQ=\frac{1}{2}{A}^{\prime }{D}^{\prime }$ mà A’D’ = BC, $MC=\frac{1}{2}BC$, nên NQ = MC (2)

Từ (1) và (2) suy ra MNQC là hình bình hành.

c) Ta có: MNQC là hình bình hành nên MN // CQ.

Mà CQ thuộc (ACD’).

Nên MN // (ACD’).

d) Gọi O là trung điểm của AC.

Tam giác ACB có: O, M là trung điểm của AC, BC.

Suy ra: OM // AB nên $OM=\frac{1}{2}AB$.

Mà AB = C’D’, $D^{\prime }P=\frac{1}{2}{C}^{\prime }D$.

Suy ra OM = D’P (1)

Ta có: OM // AB, AB // C’D’ nên OM // C’D‘ hay OM // D’P (2)

Từ (1) và (2) suy ra OMPD’ là hình bình hành. Do đó: MP // OD’.

Mà OD’ thuộc (ACD’).

Suy ra: MP // (ACD’).

Mà MN thuộc (ACD’).

Do đó: (MNP) // (ACD’).