Bài 2 trang 115

Đề bài

Cho hình chóp đều $S . A B C D$ có các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng $a$ .

a) Chứng minh rằng các tam giác $A S C$ và $B S D$ là tam giác vuông cân.

b) Gọi $O$ là giao điểm của $A C$ và $B D$ , chứng minh rằng đường thẳng $S O$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ .

c) Chứng minh rằng góc giữa đường thẳng $S A$ và mặt phẳng $(A B C D)$ bằng $45^{\circ}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh tam giác có 2 cạnh bằng nhau và có một góc vuông.

b) Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.

c) Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Tính góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

a) $A B C D$ là hình vuông $\Rightarrow A C = B D = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = a \sqrt{2}$

Xét $Δ A S C$ có: $S A^{2} + S C^{2} = 2 a^{2} = A C^{2}, S A = S C$

Vậy tam giác $A S C$ là tam giác vuông cân tại $S$ .

Xét $Δ B S D$ có: $S B^{2} + S D^{2} = 2 a^{2} = B D^{2}, S B = S D$

Vậy tam giác $B S D$ là tam giác vuông cân tại $S$ .

b) $Δ A S C$ vuông cân tại $S$ $\Rightarrow S O ⊥ A C$

$Δ B S D$ vuông cân tại $S$ $\Rightarrow S O ⊥ B D$

$\Rightarrow S O ⊥ (A B C D)$

c) $S O ⊥ (A B C D) \Rightarrow (S A, (A B C D)) = (S A, O A) = \hat{S A O}$

$Δ A S C$ vuông cân tại $S$ $\Rightarrow \hat{S A O} = 45^{\circ}$

Vậy $(S A, (A B C D)) = 45^{\circ}$ .