Bài 2 trang 115

Đề bài

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng $a$.

a) Chứng minh rằng các tam giác $ASC$ và $BSD$ là tam giác vuông cân.

b) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, chứng minh rằng đường thẳng $SO$ vuông góc với mặt phẳng $\left(ABCD\right)$.

c) Chứng minh rằng góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ bằng ${45}^{\circ }$.

Lời giải chi tiết

a) $ABCD$ là hình vuông $\Rightarrow AC=BD=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=a\sqrt{2}$

Xét $\Delta ASC$ có: $S{A}^2+S{C}^2=2a^2=A{C}^2,SA=SC$

Vậy tam giác $ASC$ là tam giác vuông cân tại $S$.

Xét $\Delta BSD$ có: $S{B}^2+S{D}^2=2a^2=B{D}^2,SB=SD$

Vậy tam giác $BSD$ là tam giác vuông cân tại $S$.

b) $\Delta ASC$ vuông cân tại $S$ $\Rightarrow SO\perp AC$

$\Delta BSD$ vuông cân tại $S$ $\Rightarrow SO\perp BD$

$\Rightarrow SO\perp \left(ABCD\right)$

c) $SO\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow \left(SA,\left(ABCD\right)\right)=\left(SA,OA\right)=\widehat{SAO}$

$\Delta ASC$ vuông cân tại $S$ $\Rightarrow \widehat{SAO}={45}^{\circ }$

Vậy $\left(SA,\left(ABCD\right)\right)={45}^{\circ }$.