Bài 2 trang 56

Cho tứ diện đều (ABCD). Chứng minh rằng (AB bot CD).

Đề bài

Cho tứ diện đều $A B C D$ . Chứng minh rằng $A B ⊥ C D$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cách xác định góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ :

Bước 1: Lấy một điểm $O$ bất kì.

Bước 2: Qua điểm $O$ dựng đường thẳng $a^{'} ∥ a$ và đường thẳng $b^{'} ∥ b$ .

Bước 3: Tính $(a, b) = (a^{'}, b^{'})$ .

Lời giải chi tiết

Giả sử tứ diện đều $A B C D$ có cạnh bằng $a$ . Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $A C, B C, A D$ .

$M$ là trung điểm của $A C$ .

$N$ là trung điểm của $B C$ .

$\Rightarrow M N$ là đường trung bình của tam giác $A B C$ .

$\Rightarrow M N ∥ A B$ , $M N = \frac{1}{2} A B = \frac{a}{2}$ .

$M$ là trung điểm của $A C$ .

$P$ là trung điểm của $A D$ .

$\Rightarrow M P$ là đường trung bình của tam giác $A C D$ .

$\Rightarrow M P ∥ C D$ , $M P = \frac{1}{2} C D = \frac{a}{2}$ .

Có $M N ∥ A B$ , $M P ∥ C D$

$\Rightarrow (A B, C D) = (M N, M P) = \hat{N M P}$ .

Ta có:

$B P$ là trung tuyến của tam giác $A B D$

$\Rightarrow B P = \frac{\sqrt{2 (A B^{2} + B D^{2}) - A D^{2}}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

$C P$ là trung tuyến của tam giác $A C D$

$\Rightarrow C P = \frac{\sqrt{2 (A C^{2} + C D^{2}) - A D^{2}}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

$N P$ là trung tuyến của tam giác $B C P$

$\Rightarrow N P = \frac{\sqrt{2 (B P^{2} + C P^{2}) - B C^{2}}}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Xét tam giác $M N P$ có:

$\cos \hat{N M P} = \frac{M N^{2} + M P^{2} - N P^{2}}{2. M N . M P} = 0$

$\Rightarrow \hat{N M P} = 90^{\circ}$ .

Vậy $(A B, C D) = 90^{\circ}$ .