Bài 2 trang 64

Đề bài

Cho hình vuông $A B C D$ . Gọi $H, K$ lần lượt là trung điểm của $A B, A D$ . Trên đường thẳng vuông góc với $(A B C D)$ tại $H$ , lấy điểm $S$ . Chứng minh rằng:

a) $A C ⊥ (S H K)$ ;

b) $C K ⊥ (S D H)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

$H$ là trung điểm của $A B$

$K$ là trung điểm của $A D$

$\Rightarrow H K$ là đường trung bình của $Δ A B D$

$\Rightarrow H K ∥ B D$

$A B C D$ là hình vuông $\Rightarrow A C ⊥ B D$

Ta có: ${\begin{cases} A C ⊥ B D \\ H K / / B D \end{cases} \Rightarrow A C ⊥ H K$

Ta có: ${\begin{cases} A C ⊥ H K - c m t \\ A C ⊥ S H (D o S H ⊥ (A B C D)) \\ H K, S H \subset (S H K); H K \cap S H \end{cases} \Rightarrow A C ⊥ (S H K)$

b) Gọi $I = C K \cap D H$ .

Xét $Δ A H D$ và $Δ D K C$ có:

$\begin{array}{l} A H = D K \\ \hat{H A D} = \hat{K D C} \\ A D = C D \end{array}} \Rightarrow Δ A H D = Δ D K C (c . g . c) \Rightarrow \hat{A D H} = \hat{D C K}$

Mà $\hat{D K C} + \hat{D C K} = 90^{\circ}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \hat{D K C} + \hat{A D H} = 90^{0} \Rightarrow \hat{D K I} = 180^{0} - (\hat{D K C} + \hat{A D H}) = 90^{0} \\ \Rightarrow D H ⊥ C K \end{array}$

Ta có: ${\begin{cases} C K ⊥ D H - c m t \\ C K ⊥ S H (D o S H ⊥ (A B C D)) \\ D H, S H \subset (S D H); D H \cap S H \end{cases} \Rightarrow C K ⊥ (S D H)$