Bài 2 trang 65

Đề bài

Tính các giới hạn sau:

a) $lim \frac{5 n + 1}{2 n};$

b) $lim \frac{6 n^{2} + 8 n + 1}{5 n^{2} + 3};$

c) $lim \frac{\sqrt{n^{2} + 5 n + 3}}{6 n + 2};$

d) $lim (2 - \frac{1}{3^{n}});$

e) $lim \frac{3^{n} + 2^{n}}{{4.3}^{n}};$

g) $lim \frac{2 + \frac{1}{n}}{3^{n}} .$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng định lí về giới hạn hữu hạn kết hợp với một số giới hạn cơ bản.

Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn.

Dãy số $(u_{n})$ có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu $lim_{n \to + \infty} (u_{n} - a) = 0$ , kí hiệu $lim_{n \to + \infty} u_{n} = a$ hay $u_{n} \to a$ khi $n \to + \infty$ hay $lim u_{n} = a$ .

Lời giải chi tiết

a) $lim \frac{5 n + 1}{2 n} = lim \frac{5 + \frac{1}{n}}{2} = \frac{5 + 0}{2} = \frac{5}{2}$

b) $lim \frac{6 n^{2} + 8 n + 1}{5 n^{2} + 3} = lim \frac{6 + \frac{8}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{5 + \frac{3}{n^{2}}} = \frac{6 + 0 + 0}{5 + 0} = \frac{6}{5}$

c) $lim \frac{\sqrt{n^{2} + 5 n + 3}}{6 n + 2} = lim \frac{\sqrt{1 + \frac{5}{n} + \frac{3}{n^{2}}}}{6 + \frac{2}{n}} = \frac{\sqrt{1 + 0 + 0}}{6 + 0} = \frac{1}{6}$

d) $lim (2 - \frac{1}{3^{n}}) = lim 2 - lim {(\frac{1}{3})}^{n} = 2 - 0 = 2$

e) $lim \frac{3^{n} + 2^{n}}{{4.3}^{n}} = lim \frac{1 + {(\frac{2}{3})}^{n}}{4} = \frac{1 + 0}{4} = \frac{1}{4}$

g) $lim \frac{2 + \frac{1}{n}}{3^{n}}$

Ta có $lim (2 + \frac{1}{n}) = lim 2 + lim \frac{1}{n} = 2 + 0 = 2 > 0; lim 3^{n} = + \infty \Rightarrow lim \frac{2 + \frac{1}{n}}{3^{n}} = 0$