Bài 2 trang 73

Cho tam giác đều (ABC) cạnh (a), (I) là trung điểm của (BC), (D) là điểm đối xứng với (A) qua (I).

Đề bài

Cho tam giác đều $A B C$ cạnh $a$ , $I$ là trung điểm của $B C$ , $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $I$ . Vẽ đoạn thẳng $S D$ có độ dài bằng $\frac{a \sqrt{6}}{2}$ và vuông góc với $(A B C)$ . Chứng minh rằng:

a) $(S B C) ⊥ (S A D)$ ;

b) $(S A B) ⊥ (S A C)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

a) $A B D C$ là hình thoi $\Rightarrow A D ⊥ B C$

$S D ⊥ (A B C) \Rightarrow S D ⊥ B C$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B C ⊥ (S A D) \\ B C \subset (S B C) \end{array}} \Rightarrow (S B C) ⊥ (S A D)$

b) Kẻ $I J ⊥ S A (J \in S A)$ .

$Δ A B C$ đều $\Rightarrow A I = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow A D = 2 A I = a \sqrt{3}$

$Δ S A D$ vuông tại $D$ $\Rightarrow S A = \sqrt{S D^{2} + A D^{2}} = \frac{3 a \sqrt{2}}{2}$

Xét $Δ S A D$ và $Δ I A J$ có:

$\begin{array}{l} \hat{S D A} = \hat{I J A} = 90^{0} \\ \hat{A} c h u n g \end{array}$

Suy ra $Δ S A D \infty Δ I A J (g . g) \Rightarrow \frac{J I}{S D} = \frac{A I}{S A} \Rightarrow J I = \frac{S D . A I}{S A} = \frac{\frac{a \sqrt{6}}{2} . \frac{a \sqrt{3}}{2}}{\frac{3 a \sqrt{2}}{2}} = \frac{a}{2}$

Nên $J I = \frac{B C}{2}$

Tam giác $B C J$ có $I J$ là trung tuyến và $I J = \frac{1}{2} B C$

Vậy tam giác $B C J$ vuông tại $J \Rightarrow B J ⊥ J C$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} B C ⊥ (S A D) \Rightarrow B C ⊥ S A \\ I J ⊥ S A \end{array}} \Rightarrow S A ⊥ (B C J) \\ \begin{array}{l} \Rightarrow S A ⊥ B J \\ B J ⊥ J C \end{array}} \Rightarrow B J ⊥ (S A C) \end{array}$

Mà $B J \subset (S A B)$

Vậy $(S A B) ⊥ (S A C)$ .