Bài 2 trang 75

Đề bài

Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

a) $y=3x^2-4x+5$ tại điểm $x_0=-2$.

b) $y={\log }_3(2x+1)$ tại điểm $x_0=3$.

c) $y=e^{4x+3}$ tại điểm $x_0=1$.

d) $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ tại điểm $x_0=\frac{\pi }{6}$.

e) $y=\cos \left(3x-\frac{\pi }{6}\right)$ tại điểm $x_0=0$.

Lời giải chi tiết

a) $y^{\prime }=6x-4\Rightarrow y^{\prime \prime }=6$.

Tại $x_0=-2\Rightarrow y^{\prime \prime }(-2)=6$.

b) $y^{\prime }=\frac{{\left(2x+1\right)}^{\prime }}{\left(2x+1\right)\ln 3}=\frac{2}{\left(2x+1\right)\ln 3}$

$\Rightarrow y^{\prime \prime }={\left(2.\frac{1}{\left(\left(2x+1\right)\ln 3\right)}\right)}^{\prime }=-2.\frac{{\left(\left(2x+1\right)\ln 3\right)}^{\prime }}{{\left(\left(2x+1\right)\ln 3\right)}^2}$

$=-2\frac{2\ln 3}{{\left(\left(2x+1\right)\ln 3\right)}^2}=\frac{-4\ln 3}{{\left(\left(2x+1\right)\ln 3\right)}^2}$.

Tại $x_0=3\Rightarrow y^{\prime \prime }\left(3\right)=\frac{-4\ln 3}{{\left(\left(2.3+1\right)\ln 3\right)}^2}=\frac{-4\ln 3}{{\left(7\ln 3\right)}^2}=\frac{-4}{49\ln 3}$.

c) $y^{\prime }=4e^{4x+3}\Rightarrow y^{\prime \prime }=16e^{4x+3}$.

Tại $x_0=1\Rightarrow y^{\prime \prime }\left(1\right)=16.e^{4.1+3}=16.e^7$.

d) $y^{\prime }=2\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)\Rightarrow y^{\prime \prime }=-4\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$.

Tại $x_0=\frac{\pi }{6}\Rightarrow y^{\prime \prime }\left(\frac{\pi }{6}\right)=-4\sin \left(2.\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}\right)=-2\sqrt{3}$.

e) $y^{\prime }=-3.\sin \left(3x-\frac{\pi }{6}\right)\Rightarrow y^{\prime \prime }=-9.\cos \left(3x-\frac{\pi }{6}\right)$.

Tại $x_0=0\Rightarrow y^{\prime \prime }\left(0\right)=-9.\cos \left(3.0-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{-9\sqrt{3}}{2}$.