Bài 2 trang 81

Cho hai tam giác cân (ABC) và (ABD) có đáy chung (AB) và không cùng nằm trong một mặt phẳng.

Đề bài

Cho hai tam giác cân $A B C$ và $A B D$ có đáy chung $A B$ và không cùng nằm trong một mặt phẳng.

a) Chứng minh rằng $A B ⊥ C D$ .

b) Xác định đoạn vuông góc chung của $A B$ và $C D$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc:

Cách 1: Chứng minh góc giữa chúng bằng $90^{\circ}$ .

Cách 2: Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia.

‒ Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $a$ và $b$ vuông góc với nhau:

Bước 1: Xác định mặt phẳng $(P)$ chứa $b$ mà $(P)$ vuông góc với $a$ .

Bước 2: Tìm giao điểm $I = (P) \cap a$ .

Bước 3: Kẻ $I A ⊥ b (A \in b)$ , chứng minh $I A ⊥ a$ . Khi đó $d (a, b) = I A$ .

Lời giải chi tiết

a) Gọi $I$ là trung điểm của $A B$

$Δ A B C$ cân tại $C$ $\Rightarrow C I ⊥ A B$

$Δ A B D$ cân tại $D$ $\Rightarrow D I ⊥ A B$

$\Rightarrow A B ⊥ (C D I) \Rightarrow A B ⊥ C D$

b) Kẻ $I H ⊥ C D (H \in C D)$

$A B ⊥ (C D I) \Rightarrow A B ⊥ I H$

Vậy $I H$ là đoạn vuông góc chung của $A B$ và $C D$ .