Bài 2 trang 85

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có $O$ là tâm của đáy và có tất cả các cạnh bằng nhau.

a) Tìm góc giữa đường thẳng $SA$ và $\left(ABCD\right)$.

b) Tim góc phẳng nhị diện $\left[A,SO,B\right];\left[S,AB,O\right]$.

Lời giải chi tiết

 

a) $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều có $O$ là tâm của đáy

$\Rightarrow SO\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow \left(SA,\left(ABCD\right)\right)=\left(SA,OA\right)=\widehat{SAO}$

Giả sử hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng $a$.

$\begin{array}{c}AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=a\sqrt{2}\Rightarrow AO=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}\\ \cos \widehat{SAO}=\frac{AO}{SA}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \widehat{SAO}={45}^{\circ }\end{array}$

Vậy $\left(SA,\left(ABCD\right)\right)={45}^{\circ }$

b) Gọi $I$ là trung điểm của $AB$

$SO\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow SO\perp AO,SO\perp BO$

Vậy $\widehat{AOB}$ là góc phẳng nhị diện $\left[A,SO,B\right]$.

$ABCD$ là hình vuông $\Rightarrow \widehat{AOB}={90}^{\circ }$

$\Delta SAB$ đều $\Rightarrow SI\perp AB$

$\Delta OAB$ vuông cân tại $O\Rightarrow OI\perp AB$

Vậy $\widehat{SIO}$ là góc phẳng nhị diện $\left[S,AB,O\right]$.

Ta có: $O$ là trung điểm của $BD$

$I$ là trung điểm của $AB$

$\Rightarrow OI$ là đường trung bình của $\Delta ABD$

$\Rightarrow OI=\frac{1}{2}AD=\frac{a}{2}$

$SO=\sqrt{S{A}^2-A{O}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

$\tan \widehat{SIO}=\frac{SO}{OI}=\sqrt{2}\Rightarrow \widehat{SIO}\approx 54,7^{\circ }$