Bài 2 trang 85

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác đều $S . A B C D$ có $O$ là tâm của đáy và có tất cả các cạnh bằng nhau.

a) Tìm góc giữa đường thẳng $S A$ và $(A B C D)$ .

b) Tim góc phẳng nhị diện $[A, S O, B]; [S, A B, O]$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Tính góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.

‒ Cách xác định góc phẳng nhị diện $[A, d, B]$ : Dựng mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $d$ , gọi $a, a^{'}$ lần lượt là giao tuyến của $(P)$ với hai nửa mặt phẳng chứa $A, B$ , khi đó $[A, d, B] = (a, a^{'})$ .

Lời giải chi tiết

a) $S . A B C D$ là hình chóp tứ giác đều có $O$ là tâm của đáy

$\Rightarrow S O ⊥ (A B C D) \Rightarrow (S A, (A B C D)) = (S A, O A) = \hat{S A O}$

Giả sử hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng $a$ .

$\begin{array}{l} A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = a \sqrt{2} \Rightarrow A O = \frac{1}{2} A C = \frac{a \sqrt{2}}{2} \\ \cos \hat{S A O} = \frac{A O}{S A} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \hat{S A O} = 45^{\circ} \end{array}$

Vậy $(S A, (A B C D)) = 45^{\circ}$

b) Gọi $I$ là trung điểm của $A B$

$S O ⊥ (A B C D) \Rightarrow S O ⊥ A O, S O ⊥ B O$

Vậy $\hat{A O B}$ là góc phẳng nhị diện $[A, S O, B]$ .

$A B C D$ là hình vuông $\Rightarrow \hat{A O B} = 90^{\circ}$

$Δ S A B$ đều $\Rightarrow S I ⊥ A B$

$Δ O A B$ vuông cân tại $O \Rightarrow O I ⊥ A B$

Vậy $\hat{S I O}$ là góc phẳng nhị diện $[S, A B, O]$ .

Ta có: $O$ là trung điểm của $B D$

$I$ là trung điểm của $A B$

$\Rightarrow O I$ là đường trung bình của $Δ A B D$

$\Rightarrow O I = \frac{1}{2} A D = \frac{a}{2}$

$S O = \sqrt{S A^{2} - A O^{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

$\tan \hat{S I O} = \frac{S O}{O I} = \sqrt{2} \Rightarrow \hat{S I O} \approx 54, 7^{\circ}$