Bài 2 trang 88

Đề bài

Cho hình chóp S.ABC. Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).

a) Xác định hình chiếu của các đường thẳng SA, SB, SC trên mặt phẳng (ABC).

b) Giả sử $BC\perp SA,CA\perp SB$. Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC và $AB\perp SC$.

Lời giải chi tiết

a)      

+ H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC)

+ A là hình chiếu của A trên mặt phẳng (ABC)

$\Rightarrow$ HA là hình chiếu của SA trên mặt phẳng (ABC)

+ H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC)

+ B là hình chiếu của B trên mặt phẳng (ABC)

$\Rightarrow$ HB là hình chiếu của SB trên mặt phẳng (ABC)

+ H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC)

+ C là hình chiếu của C trên mặt phẳng (ABC)

$\Rightarrow$ HC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABC)

b, Do H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) $\Rightarrow SH\perp \left(ABC\right)$.

Mà  $AB,AC,BC\subset \left(ABC\right)\Rightarrow SH\perp AB,SH\perp AC,SH\perp BC$.

Ta có: $\{\begin{array}{c}SA\perp BC\\ SH\perp BC\\ SA\cap SH=S\\ SA,SH\subset \left(SAH\right)\end{array}\Rightarrow BC\perp \left(SAH\right)\Rightarrow BC\perp AH\left(1\right)$

Tương tự $\Rightarrow BH\perp AC\left(1\right)$

TỪ (1) và (2) $\Rightarrow$ H là trực tâm của tam giác ABC.

Vì $\{\begin{array}{c}AB\perp \left(SCH\right)\\ SC\subset \left(SCH\right)\end{array}\Rightarrow AB\perp SC$