Bài 2 trang 94

Đề bài

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông, hai đường thẳng $A C$ và $B D$ cắt nhau tại $O$ , $S O ⊥ (A B C D)$ , tam giác $S A C$ là tam giác đều.

a) Tính số đo của góc giữa đường thẳng $S A$ và mặt phẳng $(A B C D)$ .

b) Chứng minh rằng $A C ⊥ (S B D)$ . Tính số đo của góc giữa đường thẳng $S A$ và mặt phẳng $(S B D)$ .

c) Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $A B$ . Tính số đo của góc nhị diện $[M, S O, D]$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Tính góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.

‒ Cách tính chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.

‒ Cách xác định góc nhị diện $[P_{1}, d, Q_{1}]$

Bước 1: Xác định $c = (P_{1}) \cap (Q_{1})$ .

Bước 2: Tìm mặt phẳng $(R) \supset c$ .

Bước 3: Tìm $p = (R) \cap (P_{1}), q = (R) \cap (Q_{1}), O = p \cap q, M \in p, N \in q$ .

Khi đó $[P_{1}, d, Q_{1}] = \hat{M O N}$ .

Lời giải chi tiết

a) $S O ⊥ (A B C D) \Rightarrow (S A, (A B C D)) = (S A, O A) = \hat{S A O}$

Tam giác $S A C$ là tam giác đều $\Rightarrow \hat{S A O} = 60^{\circ}$

$\Rightarrow (S A, (A B C D)) = 60^{\circ}$

b) $A B C D$ là hình vuông $\Rightarrow A C ⊥ B D$

$S O ⊥ (A B C D) \Rightarrow S O ⊥ A C$

$\Rightarrow A C ⊥ (S B D)$

$\Rightarrow (S A, (S B D)) = (S A, S O) = \hat{A S O} = \frac{1}{2} \hat{A S C} = 30^{\circ}$

c) $S O ⊥ (A B C D) \Rightarrow S O ⊥ M O, S O ⊥ D O$

Vậy $\hat{M O D}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $[M, S O, D]$

$A B C D$ là hình vuông $\hat{A O D} = 90^{\circ}$

$Δ A M O$ vuông cân tại $M \Rightarrow \hat{A O M} = 45^{\circ}$

$\Rightarrow \hat{M O D} = \hat{A O M} + \hat{A O D} = 45^{\circ} + 90^{\circ} = 135^{\circ}$

Vậy số đo của góc nhị diện $[M, S O, D]$ bằng $135^{\circ}$ .