Bài 2 trang 99

Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy là hình bình hành. Gọi (M) là trung điểm của (SC).

Đề bài

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm của $S C$ .

a) Tìm giao điểm $I$ của đường thẳng $A M$ và mặt phẳng $(S B D)$ . Chứng minh $I A = 2 I M$ .

b) Tìm giao điểm $E$ của đường thẳng $S D$ và mặt phẳng $(A B M)$ .

c) Gọi $N$ là một điểm tuỳ ý trên cạnh $A B$ . Tìm giao điểm của đường thẳng $M N$ và mặt phẳng $(S B D)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Để tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, ta tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng trong mặt phẳng.

‒ Để chứng minh $I A = 2 I M$ , ta dựa vào tính chất trọng tâm của tam giác.

Lời giải chi tiết

a) Gọi $O$ là giao điểm của $A C$ và $B D$ .

Trong mặt phẳng $(S A C)$ , gọi $I$ là giao điểm của $A M$ và $S O$ . Ta có:

$\begin{array}{l} I \in S O \subset (S B D) \\ I \in A M \end{array}} \Rightarrow I = A M \cap (S B D)$

Xét tam giác $S A C$ có:

$A B C D$ là hình bình hành $\Rightarrow O$ là trung điểm của $A C$ $\Rightarrow S O$ là trung truyến của tam giác $S A C$ .

Theo đề bài ta có $M$ là trung điểm của $S C$ $\Rightarrow A M$ là trung truyến của tam giác $S A C$ .

Mà $I = S O \cap A M$

$\Rightarrow I$ là trọng tâm của tam giác SAC suy ra IA = 2IM.

b) Trong mặt phẳng $(S B D)$ , gọi $E$ là giao điểm của $S D$ và $B I$ . Ta có:

$\begin{array}{l} E \in B I \subset (A B M) \\ E \in S D \end{array}} \Rightarrow E = S D \cap (A B M)$

c) Mặt phẳng (ABM) chứa BE, MN. Gọi $J$ là giao điểm của $M N$ và $B E$ . Ta có:

$\begin{array}{l} J \in B E \subset (S B D) \\ J \in M N \end{array}} \Rightarrow J = M N \cap (S B D)$