Bài 2. Tứ giác nội tiếp - Toán 9 Cùng khám phá

Lý thuyết Tứ giác nội tiếp Toán 9 Cùng khám phá

1. Khái niệm tứ giác nội tiếp

- Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn. - Đường tròn đi qua bốn đỉnh của tứ giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.

Ví dụ:

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp và đường tròn (O) được gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.

Hình chữ nhật, hình vuông là các tứ giác nội tiếp. Đường tròn ngoại tiếp của hình chữ nhật và hình vuông có tâm là giao điểm của hai đường chéo và bán kính là nửa đường chéo.

Ví dụ:

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABD vuông tại A, ta có:

nên .

Do đó, ta có .

Đường tròn (O;2,5) là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.

2. Tính chất

Trong một tứ giác nội tiếp đường tròn, tổng số đo hai góc đối bằng .

Ví dụ:

Tứ giác ABCD nội tiếp (O) nên .

Giải mục 1 trang 35, 36, 37 SGK Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá

Giải mục 2 trang 37, 38 SGK Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá

Giải bài tập 7.8 trang 38 SGK Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho ABCD là tứ giác nội tiếp có , . Tính số đo các góc còn lại của tứ giác ABCD.

Lời giải chi tiết

Vì ABCD là tứ giác nội tiếp ta có

suy ra .

ta có

suy ra .

Giải bài tập 7.9 trang 38 SGK Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tính số đo các góc của tứ giác nội tiếp CDEF trong Hình 7.21

Lời giải chi tiết

Xét tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên ta có:

Mà là góc bẹt nên

Suy ra

Mà là góc bẹt nên

Suy ra .

Giải bài tập 7.10 trang 38 SGK Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho đường tròn tâm O có bán kính R = 5 cm.

a) Tính độ dài cạnh của hình vuông nội tiếp trong (O).

b) Một hình chữ nhật nội tiếp (O) có chu vi 28 cm. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó.

Lời giải chi tiết

a)

Ta có BD = 2OB = 2R = 2.5 = 10 cm.

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông BAD ta có:

suy ra AD = .

b)

Ta có AC = 2AE = 2R = 2.5 = 10 cm.

Nửa chu vi hình chữ nhật là: 28 : 2 = 14 cm

Gọi AD = x suy ra CD = 14 – x

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông ADC có:

Giải phương trình ta được AD = 6 cm và CD = 8 cm.

Giải bài tập 7.11 trang 38 SGK Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho ABCD là tứ giác nội tiếp.

a) Chứng minh rằng .

b) AC cắt BD tại M. Chứng minh rằng MA.MC = MB.MD.

Lời giải chi tiết

a) Ta có và là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC nhỏ nên .

b) Xét BAM và CDM có

(cmt)

(đối đỉnh)

Suy ra BAM CDM (g-g)

Nên hay MA.MC = MB.MD.

Giải bài tập 7.12 trang 38 SGK Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC có AD, BE, CF là đường cao và H là trực tâm. Chứng minh rằng

a) Tứ giác AEHF, BDHF và CDHE là các tứ giác nội tiếp

b) DA là đường phân giác của góc FDE.

Lời giải chi tiết

a) Ta có (Do CF và BE là đường cao)

suy ra AEHF là tứ giác nội tiếp.

Chứng minh tương tự BDHF và CDHE là các tứ giác nội tiếp

b) Theo phần a ta có BDHF nội tiếp nên

DHEC nội tiếp nên .

Lại có (cùng phụ )

Suy ra hay AD là đường phân giác của góc FDE.

Giải bài tập 7.13 trang 38 SGK Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong Hình 7.22, ABCD là tứ giác nội tiếp. Tính số đo các góc x, y, z.

Lời giải chi tiết

Ta có ABCD nội tiếp nên \(\widehat {ADB} = \widehat {ACB} = {47^o}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

Ta có \(\widehat {ADE} = {180^o}\) (góc bẹt) nên

\(\widehat {ADC} = {180^o} - \widehat {EDC} = {180^o} - {70^o} = {110^o}\)

Vì ABCD nội tiếp nên

\(\widehat {ABC} = {180^o} - {110^o} = {70^o}\)

suy ra \(\widehat {DBC} = {70^o} - {50^o} = {20^o}\)

Ta có \(x =\widehat {DAC} = \widehat {DBC} = {20^o}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung CD)

Xét tam giác ADC ta có

\(z = \widehat {ACD} = {180^o} - \left( {\widehat {ADC} + \widehat {CAD}} \right) = {180^o} - \left( {{{110}^o} + {{20}^o}} \right) = {50^o}\)

Ta có \(\widehat {BCE} = {180^o}\) (góc bẹt) nên \(\widehat {DCE} = {180^o} - \left( {\widehat {BCA} + \widehat {ACD}} \right) = {180^o} - \left( {{{47}^o} + {{50}^o}} \right) = {83^o}\)

Xét tam giác CDE có

\(y = \widehat {DEC} = {180^o} - \left( {\widehat {CDE} + \widehat {DCE}} \right) = {180^o} - \left( {{{70}^o} + {{83}^o}} \right) = {27^o}\).

Giải bài tập 7.14 trang 38 SGK Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tính số đo các góc của tứ giác nội tiếp ABCD trong Hình 7.23.

Lời giải chi tiết

Ta có (góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn cung AC)

Suy ra

(góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn cung BD)

Suy ra .