Bài 2. Vị trí tương đối của hai đường tròn - Toán 9 Cùng khám phá

Lý thuyết Vị trí tương đối của hai đường tròn Toán 9 Cùng khám phá

Hai đường tròn được gọi là cắt nhau nếu chúng có đúng hai điểm chung.

Hai đường tròn được gọi là tiếp xúc nhau nếu chúng có đúng một điểm chung.

Hai đường tròn được gọi là không giao nhau nếu chúng không có điểm chung nào.

Lưu ý:

- Điểm chung của hai đường tròn cắt nhau được gọi là giao điểm. Điểm chung của hai đường tròn tiếp xúc nhau được gọi là tiếp điểm.

- Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau và một đường tròn nằm trong đường tròn còn lại thì hai đường tròn gọi là tiếp xúc trong, ngược lại ta nói hai đường tròn tiếp xúc ngoài.

Ví dụ 1:

Hai đường tròn cắt nhau:

Hai đường tròn tiếp xúc nhau:

Hai đường tròn không giao nhau:

Ví dụ 2:

- Cho OO’ = 5cm, khi đó hai đường tròn (O;4cm) và (O’;3cm) cắt nhau vì:

4cm – 3cm = 1cm < 5cm < 7cm = 4cm + 3cm.

- Cho OO’ = 5cm, khi đó hai đường tròn (O;3cm) và (O’;2cm) tiếp xúc ngoài với nhau vì 5cm = 3cm + 2cm.

- Cho OO’ = 3cm, khi đó hai đường tròn (O;8cm) và (O’;5cm) tiếp xúc trong với nhau vì 3cm = 8cm - 5cm.

- Cho đường tròn (O;3cm) và (O’;4cm) có thì nên (O;3cm) và (O’;4cm) là hai đường tròn ngoài nhau.

Hệ thức liên hệ giữa R, r và d:

Giải câu hỏi khởi động trang 103 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong Hình 5.15, mẫu trang trí hoa đào được tạo hình từ sáu đường tròn. Vị trí cánh hoa so với nhụy hoa và so với cánh hoa khác được mô tả thế nào?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Quan sát hình và đưa ra nhận xét.

Lời giải chi tiết

+ Mỗi cánh hoa có một điểm chung với nhụy hoa và nằm phía phía ngoài nhụy hoa.

+ Mỗi cánh hoa có hai điểm chung với cánh hoa khác.

Giải câu hỏi trang 103, 104, 105 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

HĐ

Trả lời câu hỏi Hoạt động trang 103 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Hình 5.16 thể hiện vị trí tương đối khác nhau của hai đường tròn khi đường tròn nhỏ di chuyển từ ngoài vào phía trong đường tròn lớn. Nêu số điểm chung của hai đường tròn trong mỗi trường hợp.

Phương pháp giải:

Quan sát hình và nêu số điểm chung của hai đường tròn.

Lời giải chi tiết:

Hình 5.16a: Hai đường tròn không có điểm chung.

Hình 5.16b: Hai đường tròn có 1 điểm chung.

Hình 5.16c: Hai đường tròn có 2 điểm chung.

Hình 5.16d: Hai đường tròn có 1 điểm chung.

Hình 5.16e: Hai đường tròn không có điểm chung.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 104 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Chỉ ra các cặp đường tròn cắt nhau, tiếp xúc nhau và không giao nhau trong Hình 5.20.

Phương pháp giải:

Hai đường tròn được gọi là cắt nhau nếu chúng có đúng 2 điểm chung.

Hai đường tròn được gọi là tiếp xúc nhau nếu chúng có đúng 1 điểm chung.

Hai đường tròn được gọi là không giao nhau nếu chúng không có điểm chung nào.

Lời giải chi tiết:

Đường tròn (A) và đường tròn (B) cắt nhau tại hai giao điểm là A và B.

Hai đường tròn (A) và (C) không giao nhau.

Hai đường tròn (B) và (C) tiếp xúc nhau tại tiếp điểm P.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 105 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Cho đường tròn bán kính và . Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn nếu khoảng cách giữa hai tâm bằng:

a) 2cm;

b) 4cm;

c) 21cm;

d) 18cm;

e) 15cm.

Phương pháp giải:

Cho hai đường tròn phân biệt (O; R) và (O’; r) và . Vị trí tương đối giữa hai đường tròn (O; R) và (O’; r) có thể xác định dựa vào hệ thức liên hệ giữa R, r và d như sau:

+ Nếu thì hai đường tròn ngoài nhau.

+ Nếu thì hai đường tròn tiếp xúc ngoài.

+ Nếu thì hai đường tròn cắt nhau.

+ Nếu thì hai đường tròn tiếp xúc trong.

+ Nếu thì (O) đựng (O’).

Lời giải chi tiết:

Ta có: , .

a) Vì nên đường tròn bán kính R đựng đường tròn bán kính r.

b) Vì nên hai đường tròn tiếp xúc trong.

c) Vì nên hai đường tròn ngoài nhau.

d) Vì nên hai đường tròn tiếp xúc ngoài.

e) Vì nên hai đường tròn cắt nhau.

VD

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 105 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Trong Hình 5.21, hai đường tròn (A; 3) và (B; 4) tiếp xúc ngoài nhau. Sử dụng compa và thước thẳng để dựng đường tròn (C; 2) tiếp xúc ngoài với cả hai đường tròn (A) và (B).

Phương pháp giải:

Cho hai đường tròn phân biệt (O; R) và (O’; r) và . Nếu thì hai đường tròn tiếp xúc ngoài.

Lời giải chi tiết:

Vì đường tròn (C; 2) tiếp xúc ngoài với cả hai đường tròn (A; 3) và (B; 4) nên

Vẽ nửa đường tròn (B; 6) và nửa đường tròn (A; 5) (hai nửa đường tròn này nằm cùng phía so với đường thẳng AB).

Gọi C là giao điểm của hai nửa đường tròn (B; 6), (A; 5).

Vẽ đường tròn (C; 2), khi đó ta được đường tròn (C; 2) tiếp xúc ngoài với cả hai đường tròn (A) và (B).

Giải bài tập 5.6 trang 105 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Thay các ô ? trong bảng dưới đây bằng một độ dài hoặc một khẳng định thích hợp:

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho hai đường tròn phân biệt (O; R) và (O’; r) và . Vị trí tương đối giữa hai đường tròn (O; R) và (O’; r) có thể xác định dựa vào hệ thức liên hệ giữa R, r và d như sau:

+ Nếu thì hai đường tròn ngoài nhau.

+ Nếu thì hai đường tròn tiếp xúc ngoài.

+ Nếu thì hai đường tròn cắt nhau.

+ Nếu thì hai đường tròn tiếp xúc trong.

+ Nếu thì (O) đựng (O’).

Lời giải chi tiết

Giải bài tập 5.7 trang 106 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Sử dụng compa và thước đo độ dài, hãy vẽ hai đường tròn bán kính lần lượt 5cm và 4cm tiếp xúc nhau.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho hai đường tròn phân biệt (O; R) và (O’; r) và . Vị trí tương đối giữa hai đường tròn (O; R) và (O’; r) có thể xác định dựa vào hệ thức liên hệ giữa R, r và d như sau:

+ Nếu thì hai đường tròn tiếp xúc ngoài.

+ Nếu thì hai đường tròn tiếp xúc trong.

Lời giải chi tiết

Gọi đường tròn (O) có bán kính 5cm và đường tròn (I) có bán kính 4cm.

Trường hợp 1: Hai đường tròn (O; 5cm) và (I; 4cm) tiếp xúc ngoài.

+ Vẽ đoạn thẳng .

+ Vẽ đường tròn (O; 5cm) và đường tròn (I; 4cm).

Khi đó, ta được (O; 5cm) và đường tròn (I; 4cm) tiếp xúc ngoài.

Trường hợp 2: Hai đường tròn (O; 5cm) và (I; 4cm) tiếp xúc trong.

+ Vẽ đoạn thẳng .

+ Vẽ đường tròn (O; 5cm) và đường tròn (I; 4cm).

Khi đó, ta được (O; 5cm) và đường tròn (I; 4cm) tiếp xúc trong.

Giải bài tập 5.8 trang 106 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn có đường kính lần lượt là 8cm và 12cm, biết khoảng cách giữa hai tâm của hai đường tròn là 10cm.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Tìm bán kính của mỗi đường tròn.

+ Dựa vào hệ thức liên hệ giữa R, r và d để xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.

Lời giải chi tiết

Gọi đường tròn tâm I có bán đường kính 8cm và đường tròn tâm K có đường kính 12cm.

Khi đó, đường tròn tâm I có bán bán kính và đường tròn tâm K có bán kính .

Vì nên hai đường tròn (I; 4cm) và (K; 6cm) tiếp xúc ngoài.

Giải bài tập 5.9 trang 106 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong Hình 5.22, hai bể xử lí nước có dạng hình tròn có tâm ở hai điểm A, B và bán kính bằng nhau. Chiều dài của chiếc cầu nối hai tâm của bể nước là . Gọi C và D lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng AB với hai đường tròn. Biết , tính bán kính mỗi bể nước.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Chỉ ra AC là bán kính bể nước tâm A, BD là bán kính đường tròn tâm B và .

+ Từ hệ thức và , , ta tìm được AC.

Lời giải chi tiết

Ta có: AC là bán kính bể nước tâm A, BD là bán kính đường tròn tâm B và .

Lại có:

Vậy bán kính mỗi bể nước bằng 10m.

Giải bài tập 5.10 trang 106 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Ba đường tròn (A; 2), (B; 10) và (C; 3) đôi một tiếp xúc ngoài nhau như trong Hình 5.23. Chứng minh rằng là tam giác vuông.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho hai đường tròn phân biệt (O; R) và (O’; r) và . Nếu thì hai đường tròn tiếp xúc ngoài.

Lời giải chi tiết

Vì ba đường tròn (A; 2), (B; 10) và (C; 3) đôi một tiếp xúc ngoài nhau nên

Vì (vì ) nên là tam giác vuông tại A (định lí Pythagore đảo)

Bài 2. Vị trí tương đối của hai đường tròn - Toán 9 Cùng khám phá

Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP9

Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub

Tải ứng dụng Tri Thức Hub