Bài 20. Định lí Viète và ứng dụng trang 20, 21, 22 Vở thực hành Toán 9

Giải câu hỏi trắc nghiệm trang 21 vở thực hành Toán 9 tập 2

Giải bài 1 trang 21 vở thực hành Toán 9 tập 2

Đề bài

Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các phương trình sau:

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phân biệt .

Theo định lí Viète ta có: .

b) Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phân biệt .

Theo định lí Viète ta có: .

c) Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phân biệt .

Theo định lí Viète ta có: .

d) Ta có: nên phương trình vô nghiệm.

Giải bài 2 trang 22 vở thực hành Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho phương trình . Không giải phương trình, hãy tính:

a) Tổng và tích các nghiệm.

b) Tổng các nghịch đảo của các nghiệm.

Lời giải chi tiết

Ta có: .

Do đó, phương trình có hai nghiệm .

a) Áp dụng định lí Viète ta có:

b) Ta có:

.

Giải bài 3 trang 22 vở thực hành Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho phương trình \({x^2} + x - 3 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\).

a) Tính giá trị của biểu thức \(x_1^2 + x_2^2\).

b) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là \(\frac{1}{{x_1^2}}\) và \(\frac{1}{{x_2^2}}\).

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\Delta  = {1^2} - 4.1.\left( { - 3} \right) = 13 > 0\).

Do đó, phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\).

Theo định lí Viète ta có:

\({x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a} =  - \frac{1}{1} =  - 1;\\{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 3}}{1} =  - 3.\)

a) Ta có:

\(x_1^2 + x_2^2 = \left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2} \right) - 2{x_1}{x_2} \\= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( { - 1} \right)^2} - 2.\left( { - 3} \right) = 7\)

b) Ta có:

\(\frac{1}{{x_1^2}} + \frac{1}{{x_2^2}} = \frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = \frac{7}{{{{\left( { - 3} \right)}^2}}} = \frac{7}{9};\\\frac{1}{{x_1^2}}.\frac{1}{{x_2^2}} = \frac{1}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( { - 3} \right)}^2}}} = \frac{1}{9}.\)

Vậy phương trình bậc hai nhận \(\frac{1}{{x_1^2}}\) và \(\frac{1}{{x_2^2}}\) làm nghiệm là \({x^2} - \frac{7}{9}x + \frac{1}{9} = 0\).

Giải bài 4 trang 22, 23 vở thực hành Toán 9 tập 2

Đề bài

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) ;

b) ;

c) , biết phương trình có một nghiệm .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: nên phương trình có hai nghiệm: .

b) Ta có: nên phương trình có hai nghiệm: .

c) Gọi là nghiệm còn lại của phương trình.

Theo định lí Viète, ta có: , suy ra, .

Vậy phương trình có hai nghiệm: .

Giải bài 5 trang 23 vở thực hành Toán 9 tập 2

Đề bài

Tìm hai số u và v, biết:

a) ;

b) .

Lời giải chi tiết

a) Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình

Ta có:

Suy ra phương trình có hai nghiệm: .

Vậy hoặc .

b) Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình .

Ta có:

Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.

Vậy không tồn tại hai số u, v thỏa mãn điều kiện đã cho.

Giải bài 6 trang 23, 24 vở thực hành Toán 9 tập 2

Đề bài

Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm là và thì đa thức được phân tích được thành nhân tử như sau: .

Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) ;

b) .

Lời giải chi tiết

Với và là hai nghiệm của phương trình bậc hai , theo định lí Viète ta có: . Do đó:

Đó là điều phải chứng minh.

Áp dụng:

a) Do phương trình có hai nghiệm

nên

b) Do phương trình có hai nghiệm nên

Giải bài 7 trang 24 vở thực hành Toán 9 tập 2

Đề bài

Một bể bơi hình chữ nhật có diện tích và chu vi là 74m. Tính các kích thước của bể bơi này.

Lời giải chi tiết

Nửa chu vi của bể bơi là: 37m.

Chiều dài và chiều rộng của bể bơi là nghiệm của phương trình bậc hai:

Ta có: .

Suy ra phương trình có hai nghiệm

Vậy chiều rộng và chiều dài của bể bơi lần lượt là 12m và 25m.

Giải bài 8 trang 24 vở thực hành Toán 9 tập 2

Đề bài

Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn .

Lời giải chi tiết

Phương trình có nghiệm khi , tức là . Khi đó, phương trình có hai nghiệm . Theo định lí Viète ta có: .

Do đó:

suy ra, , hay (thỏa mãn điều kiện để phương trình có nghiệm).

Vậy với thì phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.