Bài 20. Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Giải bài 6.21 trang 14 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Vẽ đồ thị của các hàm số mũ sau:

a) \(y = {(\sqrt 3 )^x}\);

b) \(y = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Hàm số mũ \(y = {a^x}\):

Có đồ thị đi qua các điểm \(\left( {0\,;\,1} \right)\), \(\left( {1\,;\,a} \right)\) và luôn nằm phía trên trục hoành.

Vẽ đồ thị hàm số \(y = {a^x}\).

Lập bảng giá trị của hàm số tại một số điểm như sau:

Xác định các điểm có tọa độ theo bảng trên

Từ đó, ta vẽ được đồ thị của hàm số \(y = {a^x}\)

Lời giải chi tiết

Từ đó, ta vẽ được đồ thị của hàm số \(y = {(\sqrt 3 )^x}\) như hình sau:

b) Lập bảng giá trị của hàm số tại một số điểm như sau:

Từ đó, ta vẽ được đồ thị của hàm số \(y = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x}\) như hình sau:

Giải bài 6.22 trang 14 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Vẽ đồ thị của các hàm số lôgarit sau:

a) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt 3 }}x\)

b) \(y = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\frac{2}{3}}}x\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Hàm số lôgarit \(y = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}x\):

Có tập xác định là \(\left( {0; + \infty } \right)\) và tập giá trị là \(\mathbb{R}\);
Liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\);
Có đồ thị đi qua các điểm \(\left( {1;0} \right),\left( {a;1} \right)\) và luôn nằm bên phải trục tung.
Dạng đồ thị của hàm số \(y = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}x\)
Vẽ đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\).

Lập bảng giá trị của hàm số tại một số điểm như sau:
Xác định các điểm có tọa độ theo bảng trên

Từ đó, ta vẽ được đồ thị của hàm số \(y = {\log _a}x\)

Lời giải chi tiết

a) Lập bảng giá trị của hàm số tại một số điểm như sau:

Từ đó, ta vẽ được đồ thị của hàm số \(y = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt 3 }}x\) như hình sau;

b) Lập bảng giá tri của hàm số tại một số điểm như sau:

Từ đó, ta vẽ được đồ thị của hàm số \(y = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\frac{2}{3}}}x\) như hình sau:

Giải bài 6.23 trang 14 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hàm số mũ . Chứng minh rằng:

a) ;

b)

c) .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng tính chất của lũy thừa với số mũ thực

Với là số thực dương ta có: .

Với và là các số thực, ta có:

; ;

;

Lời giải chi tiết

Giải bài 6.24 trang 14 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \(y = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 1} \right)\)

b) \(y = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\frac{1}{2}}}\left| {x - 1} \right|\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Hàm số lôgarit \(y = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}u\left( x \right)\) xác định khi và chỉ khi \(a > 0;a \ne 1;u\left( x \right) > 0\)

Từ đó suy ra tập xác định của hàm số \(y = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}u\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết

a) Hàm số \(y = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 1} \right)\) xác định \( \Leftrightarrow x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - 1\)

Tập xác định của hàm số là \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)

b) Ta có \(\left| {x - 1} \right| > 0,{\rm{\;}}\forall x \ne 1\)

Hàm số \(y = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\frac{1}{2}}}\left| {x - 1} \right|\) xác định \( \Leftrightarrow \left| {x - 1} \right| > 0 \Leftrightarrow x \ne - 1\)

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

Giải bài 6.25 trang 14 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hàm số lôgarit . Chứng minh rằng:

a)

b)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng quy tắc tính lôgarit

Giả sử a là số thực dương khác và là các số thực dương, là số thực tuỳ ý.

Lời giải chi tiết

a)

b) .

Giải bài 6.26 trang 14 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Ta định nghĩa các hàṃ sin hyperbolic và hàm côsin hyperbolic như sau: \({\rm{sinh}}x = \frac{1}{2}\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right);{\rm{cosh}}x = \frac{1}{2}\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)\)

Chứng minh rằng:

a) \({\rm{sinh}}x\) là hàm số lẻ:;

b) \({\rm{cosh}}x\) là hàm số chẵn;

c) \({({\rm{cosh}}x)^2} - {({\rm{sinh}}x)^2} = 1\) với mọi \(x\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng định nghĩa hàm lẻ, hàm chẵn

Hàm số \(y = f(x)\) có tập xác định \(D\)

Hàm số \(y = f(x)\) là hàm số lẻ trên \(D \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\\f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\end{array} \right.\)

Hàm số \(y = f(x)\) là hàm số chẵn trên \(D \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\\f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết

a) Hàm số \(f\left( x \right) = {\rm{sinh}}x\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\)

Ta có \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\)

\(f\left( x \right) = {\rm{sinh}}x = \frac{1}{2}\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right) \Rightarrow f\left( { - x} \right) = \frac{1}{2}\left( {{e^{ - x}} - {e^x}} \right) = - f\left( x \right),\forall x \in \mathbb{R}\).

Do đó, sinh\(x\) là hàm số lẻ.

b) Hàm số \(g\left( x \right) = {\rm{cosh}}x\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\)

Ta có \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\)

\(g\left( x \right) = {\rm{cosh}}x = \frac{1}{2}\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right) \Rightarrow g\left( { - x} \right) = \frac{1}{2}\left( {{e^{ - x}} + {e^x}} \right) = g\left( x \right),\forall x \in \mathbb{R}\).

Do đó, \({\rm{cosh}}x\) là hàm số chẵn.

c) Ta có: \({({\rm{cosh}}x)^2} - {({\rm{sinh}}x)^2} = \frac{1}{4}{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)^2} - \frac{1}{4}{\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)^2} = \frac{1}{4} \cdot 2{e^{ - x}} \cdot 2{e^x} = 1\).

Giải bài 6.27 trang 15 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Nếu một ô kính ngăn khoảng ánh sáng truyền qua nó thì phần trăm ánh sáng truyền qua ô kính liên tiếp được cho gần đúng bởi hàm số sau:

.

a) Có bao nhiêu phần trăm ánh sáng sẽ truyền qua 10 ô kính?

b) Có bao nhiêu phần trăm ánh sáng sẽ truyền qua 25 ô kính? (Kết quả ở câu a và câu b được làm tròn đến hàng đơn vị).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Tính .

b) Tính .

Lời giải chi tiết

a) .

b) .

Giải bài 6.28 trang 15 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Số tiền ban đầu 120 triệu đồng được gửi tiết kiệm với lãi suất năm không đổi là \(6{\rm{\% }}\). Tính số tiền (cả vốn lẫn lãi) thu được sau 5 năm nếu nó được tính lãi kép:

a) hằng quý;

b) hằng tháng;

c) liên tục.

(Kết quả được tính theo đơn vị triệu đồng và làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Để giải câu a và câu \({\rm{b}}\), ta sử dụng công thức lãi kép theo định kì để tính tổng số tiền thu được \(A = P{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^t}\); trong đó \(P\) là số tiền vốn ban đầu, \(r\) là lãi suất năm ( \(r\) cho dưới dạng số thập phân), \(n\) là số kì tính lãi trong một năm và \(t\) là số kì gửi.

a) Tą có: \(P = 120,r = 6{\rm{\% }} = 0,06,n = 4,t = 20\).

Thay vào công thức \(A = P{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^t}\) để tìm \(A\)

b) Ta có: \(P = 120,r = 6{\rm{\% }} = 0,06,n = 12,t = 60\). Thay vào công thức \(A = P{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^t}\) tìm được \(A\)

c) Ta sử dụng công thức lãi kép liên tục \(A = P{e^{rt}}\), ở đây \(r\) là lãi suất năm ( \(r\) cho dưới dạng số thập phân) và \(t\) là số năm gửi tiết kiệm.

Ta có: \(P = 120,r = 6{\rm{\% }} = 0,06,t = 5\) thay vào công thức \(A = P{e^{rt}}\)

Lời giải chi tiết

Để giải câu a và câu \({\rm{b}}\), ta sử dụng công thức lãi kép theo định kì để tính tổng số tiền thu được \(A = P{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^t}\); trong đó \(P\) là số tiền vốn ban đầu, \(r\) là lãi suất năm ( \(r\) cho dưới dạng số thập phân), \(n\) là số kì tính lãi trong một năm và \(t\) là số kì gửi.

a) Tą có: \(P = 120,r = 6{\rm{\% }} = 0,06,n = 4,t = 20\). Thay vào công thức trên, ta được:

\(A = 120{\left( {1 + \frac{{0,06}}{4}} \right)^{20}} = 120.1,{015^{20}} \approx 161,623{\rm{\;\;}}\)(triệu đồng)

b) Ta có: \(P = 120,r = 6{\rm{\% }} = 0,06,n = 12,t = 60\). Thay vào công thức trên, ta được:

\(A = 120{\left( {1 + \frac{{0,06}}{{12}}} \right)^{60}} = 120.1,{005^{60}} \approx 161,862{\rm{\;}}\)(triệu đồng)

c) Ta sử dụng công thức lãi kép liên tục \(A = P{e^{rt}}\), ở đây \(r\) là lãi suất năm ( \(r\) cho dưới dạng số thập phân) và \(t\) là số năm gửi tiết kiệm.

Ta có: \(P = 120,r = 6{\rm{\% }} = 0,06,t = 5\) nên \(A = 120 \cdot {e^{0,06 - 5}} = 120 \cdot {e^{0,3}} \approx 161,983\) (triệu đồng)

Giải bài 6.29 trang 15 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Chu kì bán rã của đồng vị phóng xạ Radi 226 là khoảng 1600 năm. Giả sử khối lượng (tính bằng gam) còn lại sau năm của một lượng Radi 226 được cho bởi công thức: .

a) Khối lượng ban đầu (khi ) của lượng Radi 226 đó là bao nhiêu?

b) Sau 2500 năm khối lượng của lượng Radi 226 đó là bao nhiêu?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Tính .

b) Tính .

Lời giải chi tiết

a) (g).

b) (g).

Giải bài 6.30 trang 15 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong Vật lí, mức cường độ âm (tính bằng deciben, kí hiệu là dB) được tính bởi công thức \(L = 10{\rm{log}}\frac{I}{{{I_0}}}\), trong đó \(I\) là cường độ âm tính theo W/m² và \({I_0} = {10^{ - 12}}{\rm{\;W}}/{{\rm{m}}^2}\) là cường độ âm chuẩn, tức là cường độ âm thấp nhất mà tai người có thể nghe được.

a) Tính mức cường độ âm của một cuộc trò chuyện bình thường có cường độ âm là \({10^{ - 7}}{\rm{\;W}}/{{\rm{m}}^2}\).

b) Khi cường độ âm tăng lên 1000 lần thì mức cường độ âm (đại lượng đặc trưng cho độ to nhỏ của âm) thay đổi thế nào?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Tính \(L = 10{\rm{log}}\frac{I}{{{I_0}}}\) khi \(I = {10^{ - 7}}{\rm{\;W}}/{{\rm{m}}^2}\), \({I_0} = {10^{ - 12}}{\rm{\;W}}/{{\rm{m}}^2}\).

b) So sánh \(L' = 10{\rm{log}}\frac{{1000I}}{{{I_0}}}\) với \(L = 10{\rm{log}}\frac{I}{{{I_0}}}\).

Xét \(L' - L = 10\log \frac{{1000I}}{{{I_0}}} - 10\log \frac{{1000I}}{{{I_0}}} = 10\log \left( {\frac{{1000I}}{{{I_0}}}:\frac{{1000I}}{{{I_0}}}} \right) = 30\).

Lời giải chi tiết

a) Mức cường độ âm của cuộc trò chuyện bình thường có cường độ âm \({10^{ - 7}}{\rm{\;W}}/{{\rm{m}}^2}\) là \(L = 10{\rm{log}}\frac{{{{10}^{ - 7}}}}{{{{10}^{ - 12}}}} = 50\) (dB).

b) Ta có: \(10{\rm{log}}\frac{{1000I}}{{{I_0}}} - {\rm{log}}\frac{I}{{{I_0}}} = 10 \cdot \left( {{\rm{log}}\frac{{1000I}}{{{I_0}}} - {\rm{log}}\frac{I}{{{I_0}}}} \right)\)

\(= 10\log \left( {\frac{{1000I}}{{{I_0}}}:\frac{{1000I}}{{{I_0}}}} \right) = 10\log 1000 = 30\).

Vậy mức cường độ âm tăng lên 30 dB.

Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP11

Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub

Tải ứng dụng Tri Thức Hub