Bài 20. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Giải bài 7.10 trang 37 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

a) \(m:x + y - 2 = 0\) và \(k:2x + 2y - 4 = 0\)

b) \(a:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 4\end{array} \right.\) và \(b:\left\{ \begin{array}{l}x = 3t'\\y = 1 + t'\end{array} \right.\)

c) \({d_1}:x - 2y - 1 = 0\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = 2 - t\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết

a) Vectơ pháp tuyến của m và k lần lượt là: \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;1} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2;2} \right)\)

Ta thấy \(\overrightarrow {{n_2}}  = 2\overrightarrow {{n_1}} \) à Hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau

Xét \(A\left( {2;0} \right)\) thuộc m, ta thấy A cũng thuộc k à m và k trùng nhau

b) Vectơ chỉ phương của a và b lần lượt là: \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;0} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {3;1} \right)\) và hai đường thẳng cắt nhau

c) Vectơ pháp tuyến của \({d_1}\) là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{v_1}}  = \left( {2;1} \right)\), vectơ chỉ phương của đường thẳng \({d_2}\) là \(\overrightarrow {{v_2}}  = \left( {2;1} \right)\)

\(\Rightarrow \) Hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau

Xét \(A\left( {1;0} \right)\) thuộc \({d_1}\), ta thấy A không thuộc \({d_2}\) \(\Rightarrow \) Hai đường thẳng này song song với nhau

Giải bài 7.11 trang 38 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) \(d:y - 1 = 0\) và \(k:x - y + 4 = 0\)

b) \(a:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 2t\end{array} \right.\) và \(b:3x + y + 1 = 0\)

c) \(m:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 - \sqrt 3 t\end{array} \right.\) và \(n:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - t'\\y = \sqrt 3 t'\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết

a) Vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng lần lượt là \(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( {1; - 1} \right)\).

\(\cos\varphi  = \frac{{\left| {1.0 + 1.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2}} \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

\(\Rightarrow \varphi  = {45^ \circ }\).

b) Vectơ chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt là \(\left( {1;2} \right)\) và \(\left( {1; - 3} \right)\).

\(\cos\varphi  = \frac{{\left| {1.1 + 2.\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }}  = \frac{\sqrt 2}{2}\)

\(\Rightarrow \varphi  = {45^ \circ }\).

c) Vectơ chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt là \(\left( {1;\sqrt 3 } \right)\) và \(\left( {1; - \sqrt 3 } \right)\).

\(\cos\varphi  = \frac{{\left| {1.1 + \sqrt 3 .\left( { - \sqrt 3 } \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} \sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2}} }}  = \frac{1}{2} \)

\(\Rightarrow \varphi  = {60^ \circ }\).

Giải bài 7.12 trang 38 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hai đường thẳng \(d:2x + y + 1 = 0\) và \(k:2x + 5y - 3 = 0\).

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng đó cắt nhau. Tìm giao điểm của hai đường thẳng đó.

b) Tính tan của góc giữa hai đường thẳng.

Lời giải chi tiết

a) Vectơ pháp tuyến của d và k lần lượt là: \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;1} \right)\), \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2;5} \right)\)

\(\Rightarrow \) Hai đường thẳng cắt nhau

Tìm giao điểm:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y + 1 = 0\\2x + 5y - 3 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 1;1} \right)\)

b) Gọi \({k_1}\) và \({k_2}\) là hệ số góc của hai đường thẳng

+ \(d:2x + y + 1 = 0\)

\(\Rightarrow y =  - 2x - 1 \Rightarrow {k_1} =  - 2\)

+ \(k:2x + 5y - 3 = 0\)

\(\Rightarrow y =  - \frac{2}{5}x + \frac{3}{5} \Rightarrow {k_1} =  - \frac{2}{5}\)

+ Ta có: \(\tan \alpha  = \left| {\frac{{{k_1} - {k_2}}}{{1 + {k_1}{k_2}}}} \right| = \left| {\frac{{ - 2 + \frac{2}{5}}}{{1 + \frac{4}{5}}}} \right| = \frac{8}{9}\)

Giải bài 7.13 trang 38 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong mặt phẳng \(Oxy\), tìm điểm M thuộc trục Ox sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng \(\Delta :3x + y - 3 = 0\) bằng \(\sqrt {10} \).

Lời giải chi tiết

+ M thuộc Ox nên \(M\left( {a;0} \right)\).

+ Khoảng cách từ M đến \(\Delta \) là:

\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3a + 0 - 3} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {3a - 3} \right|}}{{\sqrt {10} }} = \sqrt {10} \)

\(\Rightarrow \left| {3a - 3} \right| = 10 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{{13}}{3}\\a = \frac{{ - 7}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left( {\frac{{13}}{3};0} \right)\\M\left( {\frac{{ - 7}}{3};0} \right)\end{array} \right.\)

Giải bài 7.14 trang 38 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta :2x + y - 5 = 0\).

a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm \(A\left( {3;1} \right)\) và song song với đường thẳng \(\Delta \).

b) Viết phương trình đường thẳng k đ qua điểm \(B\left( { - 1;0} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta \).

c) Lập phương trình đường thẳng a song song với đường thẳng \(\Delta \) và cách điểm O một khoảng bằng \(\sqrt 5 \).

Lời giải chi tiết

a) d song song với đường thẳng \(\Delta  \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}}  = \overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {2;1} \right)\).

d đi qua điểm \(A\left( {3;1} \right)\) có \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {2;1} \right) \)

\(\Rightarrow d:2\left( {x - 3} \right) + 1\left( {y - 1} \right) = 0\)

\(\Rightarrow d:2x + y - 7 = 0\).

b) d vuông với đường thẳng \(\Delta \)

\(\Rightarrow \overrightarrow {{v_d}}  = \overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {2;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1; - 2} \right)\).

d đi qua điểm \(B\left( { - 1;0} \right)\) có \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1; - 2} \right) \)

\(\Rightarrow d:1\left( {x + 1} \right) - 2\left( {y - 0} \right) = 0\)

\(\Rightarrow d:x - 2y + 1 = 0\).

c) Đường thẳng a song song với đường thẳng \(\Delta \) \( \Rightarrow a:2x + y + c = 0\) với \(c \ne  - 5\).

O cách a một khoảng là \(\sqrt 5\)

\(  \Rightarrow \frac{{\left| {2.0 + 0 + c} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} \Rightarrow \left| c \right| = 5 \Rightarrow c =  \pm 5\)

\( \Rightarrow a:2x + y + 5 = 0\).

Giải bài 7.15 trang 38 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho tam giác ABC có \(A\left( {2; - 1} \right)\), \(B\left( {2; - 2} \right)\) và \(C\left( {0; - 1} \right)\).

a) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A.

b) Tính diện tích tam giác ABC.

c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Lời giải chi tiết

a) Độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC.

+ Viết phương trình đường thẳng BC có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 2;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {1;2} \right)\) và BC đi qua \(C\left( {0; - 1} \right)\):

\(1\left( {x - 0} \right) + 2\left( {y + 1} \right) = 0 \Rightarrow x + 2y + 2 = 0\).

+ Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC là:

\(d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {2 + 2\left( { - 1} \right) + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).

b) \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 2;1} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}}  = \sqrt 5 \)

\(S = \frac{1}{2}d\left( {A,BC} \right).BC = \frac{1}{2}.\frac{2}{{\sqrt 5 }}.\sqrt 5  = 1\)

c) \(S = pr\) với \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\)

+ \(a = BC = \sqrt 5 \)

+ \(b = AC = \sqrt {{2^2} + {0^2}}  = 2\)

+ \(c = AB = \sqrt {{0^2} + {1^2}}  = 1\)

\( \Rightarrow p = \frac{{\sqrt 5  + 1 + 2}}{2} = \frac{{\sqrt 5  + 3}}{2}\)

\(\Rightarrow r = 1:\frac{{\sqrt 5  + 3}}{2} = \frac{2}{{\sqrt 5  + 3}} = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\).

Giải bài 7.16 trang 38 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho đường thẳng \(d:x - 2y + 1 = 0\) và điểm \(A\left( { - 2;2} \right)\).

a) Chứng minh A không thuộc đường thẳng d.

b) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng d.

c) Xác định điểm đối xứng của A qua đường thẳng d.

Lời giải chi tiết

a) Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta có: \( - 2 - 2.2 + 1 =  - 5 \ne 0\) nên điểm A không thuộc đường thẳng d.

b) Gọi điểm H là chân đường cao hạ từ A đến đường thẳng d, khi đó AH vuông góc với d

\( \Rightarrow \overrightarrow {{v_{AH}}}  = \overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AH}}}  = \left( {2;1} \right)\).

+ Phương trình đường thẳng AH đi qua \(A\left( { - 2;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{n_{AH}}}  = \left( {2;1} \right)\):

\(AH:2\left( {x + 2} \right) + 1\left( {y - 2} \right) = 0\)

\(\Rightarrow AH:2x + y + 2 = 0\).

+ \(H = AH \cap d \)

\(\Rightarrow H:\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 1 = 0\\2x + y + 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow H\left( { - 1;0} \right)\).

c) Điểm A’ đối xứng với A qua d khi đó H là trung điểm của AA’.

Suy ra \(A'\left( {2.\left( { - 1} \right) + 2;2.0 - 2} \right) \Rightarrow A'\left( {0; - 2} \right)\).

Giải bài 7.17 trang 38 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( { - 3;0} \right)\), \(B\left( {1; - 2} \right)\) và đường thẳng \(d:x + y - 1 = 0\).

a) Chứng minh rằng hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d.

b) Điểm M thay đổi trên đường thẳng d. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác ABM.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\left( { - 3 + 0 - 1} \right)\left( {1 - 2 - 1} \right) = 8 > 0\) nên hai điểm A, B nằm cùng phía với đường thẳng d.

b) AB cố định, nên chu vi tam giác nhỏ nhất khi MA + MB nhỏ nhất.

Lấy A’ đối xứng với A qua đường thẳng d. Khi đó ta có \(MA + MB \ge MA' + MB \ge A'B\).

Dấu bằng xảy ra khi \(M = A'B \cap d\).

+ Gọi điểm H là chân đường cao hạ từ A đến đường thẳng d, khi đó AH vuông góc với d

\( \Rightarrow \overrightarrow {{v_{AH}}}  = \overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AH}}}  = \left( {1; - 1} \right)\)

+ Phương trình đường thẳng AH đi qua \(A\left( { - 3;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{n_{AH}}}  = \left( {1; - 1} \right)\):

\(AH:1\left( {x + 3} \right) - 1\left( {y - 0} \right) = 0\)

\(\Rightarrow AH:x - y + 3 = 0\).

+ \(H = AH \cap d\)

\(\Rightarrow H:\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 = 0\\x - y + 3 = 0\end{array} \right. \Rightarrow H\left( { - 1;2} \right)\).

+ Điểm A’ đối xứng với A qua d khi đó H là trung điểm của AA’.

Suy ra \(A'\left( {2.\left( { - 1} \right) + 3;2.2 - 0} \right) \Rightarrow A'\left( {1;4} \right)\).

+ Viết phương trình đưởng thẳng A’B:

\(\overrightarrow {A'B}  = \left( {0;6} \right) = \left( {0;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {0;1} \right)\)

\(A'B:x - 1 = 0\).

+ \(A'B \cap d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + y - 1 = 0\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1;0} \right)\).

Giải bài 7.18 trang 39 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong một hoạt động ngoại khóa của trường, lớp Việt định mở một gian hàng bán bánh mì và nước khoáng. Biết rằng giá gốc một bánh mì là 15 000 đồng, một chai nước là 5 000 đồng. Các bạn dự kiến bán bánh mì với giá 20 000 đồng/1 bánh mì và nước giá 8 000 đồng/1 chai. Dựa vào thống kê số người tham gia hoạt động và nhu cầu thực tế các bạn dự kiến tổng số bánh mì và số chai nước không vượt quá 200. Theo quỹ lớp thì số tiền lớp Việt được dùng không quá 2 000 000 đồng. Hỏi lớp Việt có thể đạt được tối đa lợi nhuận là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Gọi \(x,y\) lần lượt là số chiếc bánh mì và chai nước khoáng mà lớp Việt định mua để bán, Khi đó từ giả thiết ta có: \(x,y \in N\).

+ Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 200\\15000x + 5000y \le 2000000\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y \le 200\\3x + y \le 400\end{array} \right.\)

+ Nếu bán hết thì lợi nhuận lớp Việt có được là \(T = 5x + 3y\) (nghìn đồng).

+ Để tìm lợi nhuận lớn nhất ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(d:5x + 3y\).

+ Biểu diễn tập nghiệm của BPT: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 200\\3x + y \le 400\end{array} \right.\) trên mặt phẳng \(Oxy\), là miền tứ giác OABC.

+ Khi đó các cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn đề bài là các cặp số tự nhiên sao cho điểm \(M\left( {x;y} \right)\) nằm trong miền tứ giác OABC.

+ Ta có \(d = 5x + 3y = \sqrt {34} \frac{{\left| {5x + 3y} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {3^2}} }} = \sqrt {34} d\left( {M,\Delta } \right)\) với \(\Delta \) là đường thẳng có phương trình \(5x + 3y = 0\).

+ Gọi k là đường thẳng đi qua M và song song với \(\Delta \)/ Khi đó \(d\left( {M,\Delta } \right) = d\left( {k,\Delta } \right)\). Do đó d lớn nhất tương ứng với khoảng cách giữa k và \(\Delta \) lớn nhất.

+ Nhìn hình ta có khoảng cách giữa k và \(\Delta \) lớn nhất khi M trung B. Do đó giá tị lớn nhất của d là \(\sqrt {34} \frac{{\left| {5.100 + 3.100} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {3^2}} }} = 800\).

Vậy lợi nhuận tối đa mà lớp Việt có thể đạt được là 800 nghìn đồng khi các bên mua và bán được 100 chiếc bánh mì và 100 chai nước.