Bài 21. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Giải bài 7.19 trang 41 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm tâm và bán kính của đường tròn \(\left( C \right)\) trong các trường hợp sau:

a) \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 8} \right)^2} = 49\).

b) \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 23\).

Lời giải chi tiết

a) \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 8} \right)^2} = 49\) có tâm \(I\left( {2;8} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {49}  = 7\).

b) \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 23\) có tâm \(I\left( { - 3;4} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {23} \).

Giải bài 7.20 trang 41 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn? Khi đó hãy tìm tâm và bán kính của nó.

a) \({x^2} + 2{y^2} - 4x - 2y + 1 = 0\).

b) \({x^2} + {y^2} - 4x + 3y + 2xy = 0\).

c) \({x^2} + {y^2} - 8x - 6y + 26 = 0\).

d) \({x^2} + {y^2} + 6x - 4y + 13 = 0\).

e) \({x^2} + {y^2} - 4x + 2y + 1 = 0\).

Lời giải chi tiết

a) \({x^2} + 2{y^2} - 4x - 2y + 1 = 0\)

Phương trình đã cho không là phương trình của đường tròn vì hệ số của \({x^2}\) và \({y^2}\) không bằng nhau

b) \({x^2} + {y^2} - 4x + 3y + 2xy = 0\)

Phương trình đã cho không là phương trình của đường tròn, vì trong phương trình đường tròn không chứa \(xy\)

c) \({x^2} + {y^2} - 8x - 6y + 26 = 0\)

+ Phương trình đã cho có các hệ số \(a = 4,b = 3,c = 26\)

+ Tính \({a^2} + {b^2} - c = {3^2} + {4^2} - 26 =  - 1 < 0\)

\(\Rightarrow \) Đây không phải là phương trình của đường tròn

d) \({x^2} + {y^2} + 6x - 4y + 13 = 0\)

+ Phương trình đã cho có các hệ số \(a =  - 3,b = 2,c = 13\)

+ Tính \({a^2} + {b^2} - c = {\left( { - 3} \right)^2} + {2^2} - 13 = 0\)

\(\Rightarrow \) Đây không phải là phương trình của đường tròn

e) \({x^2} + {y^2} - 4x + 2y + 1 = 0\)

+ Phương trình đã cho có các hệ số \(a = 2,b =  - 1,c = 1\)

+ Tính \({a^2} + {b^2} - c = {2^2} + {\left( { - 1} \right)^2} - 1 = 4 > 0\), nên phương trình của đường tròn có tâm \(I\left( {2; - 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 4  = 2\)

Giải bài 7.21 trang 41 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Viết phương trình của đường tròn \(\left( C \right)\) trong các trường hợp sau:

a) Có tâm \(I\left( {3;1} \right)\) và có bán kính \(R = 2\).

b) Có tâm \(I\left( {3;1} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( { - 1;7} \right)\).

c) Có tâm \(I\left( {2; - 4} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :3x - 2y - 1 = 0\).

d) Có đường kính AB với \(A\left( {4;1} \right)\) và \(B\left( { - 2; - 5} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {3;1} \right)\) và có bán kính \(R = 2\):

\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {2^2} = 4\)

b) Có tâm \(I\left( {3;1} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( { - 1;7} \right)\)

+ \(R = IM = \sqrt {{4^2} + {6^2}}  = \sqrt {52} \)

+ Phương trình đường tròn:

\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 52\)

c) Có tâm \(I\left( {2; - 4} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :3x - 2y - 1 = 0\)

+ \(R = d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.2 - 2\left( { - 4} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }} = \sqrt {13} \)

+ Phương trình đường tròn:

\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 13\)

d) Có đường kính AB với \(A\left( {4;1} \right)\) và \(B\left( { - 2; - 5} \right)\)

+ I là trung điểm của AB nên \(A\left( {1; - 2} \right)\)

+ \(R = IA = \sqrt {{3^2} + {3^2}}  = 3\sqrt 2 \)

+ Phương trình đường tròn:

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 18\)

Giải bài 7.22 trang 41 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Viết phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm thuộc đường thẳng \(\Delta :x + y - 1 = 0\) và đi qua hai điểm \(A\left( {6;2} \right)\), \(B\left( { - 1;3} \right)\).

Lời giải chi tiết

+ Gọi điểm I thuộc đường thẳng \(\Delta :x + y - 1 = 0 \Rightarrow I\left( {t;1 - t} \right)\).

+ \(IA = IB\)

\(\Rightarrow {\left( {t - 6} \right)^2} + {\left( { - 1 - t} \right)^2} = {\left( {t + 1} \right)^2} + {\left( { - 2 - t} \right)^2}\)

\( \Rightarrow {t^2} - 12t + 36 = {t^2} + 4t + 4\)

\(\Rightarrow 16t = 32\)

\(\Rightarrow t = 2 \)

\(\Rightarrow I\left( {2; - 1} \right)\).

+ \(R = IA = \sqrt {{4^2} + {3^2}}  = 5\).

+ Phương trình đường tròn:

\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 25\).

Giải bài 7.23 trang 42 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho đường thẳng \(\left( C \right)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} + 6x - 4y - 12 = 0\). Viết phương trình tiếp tuyến của \(\Delta \) của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {0; - 2} \right)\).

Lời giải chi tiết

+ \({x^2} + {y^2} + 6x - 4y - 12 = 0\)

\(\Rightarrow {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 25\)

\(\Rightarrow I\left( { - 3;2} \right)\).

+ Phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {0, - 2} \right)\) vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {IM}  = \left( {3; - 4} \right)\).

+ Phương trình đường thẳng:

\(\Delta :3\left( {x - 0} \right) - 4\left( {y + 2} \right) = 0 \)

\(\Rightarrow \Delta :3x - 4y - 8 = 0\).

Giải bài 7.24 trang 42 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho điểm \(A\left( {4;2} \right)\) và hai đường thẳng \(d:3x + 4y - 20;d':2x + y = 0\).

a) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d.

b) Viết phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm thuộc đường thẳng d’ và tiếp xúc với d tại A.

Lời giải chi tiết

a)  \(\Delta  \bot d \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}}  = \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {3;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {4; - 3} \right)\).

Phương trình đưởng thẳng \(\Delta \) có VTPT \(\overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {4; - 3} \right)\) và đi qua \(A\left( {4;2} \right)\) là:

\(4\left( {x - 4} \right) - 3\left( {y - 2} \right) = 0\)

\(\Rightarrow 4x - 3y - 10 = 0\).

b) Viết phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm thuộc đường thẳng d’ và tiếp xúc với d tại A.

+ Tâm I thuộc đường thẳng d’ \( \Rightarrow I\left( {t; - 2t} \right)\).

+ Phương trình đưởng tròn tiếp xúc với d tại A

\( \Rightarrow IA \bot d' \Rightarrow \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {{v_d}}  = 0\)

\(\Rightarrow \left( {t - 4; - 2t - 2} \right).\left( {1; - 2} \right) = 0\)

\(\Rightarrow t - 4 + 4t + 4 = 0 \Rightarrow t = 0\)

\( \Rightarrow I\left( {0;0} \right)\).

+ \(IA = R = \sqrt {{2^2} + {4^2}}  = 2\sqrt 5 \).

+ Phương trình đường tròn: \({x^2} + {y^2} = 20\).

Giải bài 7.25 trang 42 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho đường tròn \(\left( C \right)\), đường thẳng \(\Delta \) có phương trình lần lượt là:

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 2\), \(x + y + 2 = 0\).

a) Chứng minh \(\Delta \) là một tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\).

b) Viết phương trình tiếp tuyến d của \(\left( C \right)\), biết rằng d song song với đường thẳng \(\Delta \).

Lời giải chi tiết

a) \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 2\) có \(I\left( {1; - 1} \right)\), \(R = \sqrt 2 \).

\(d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {1 - 1 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2  = R\).

Nên d là tiếp tuyến của đường tròn \(C\left( {I,R} \right)\).

b) d song song với đường thẳng \(\Delta \)

\(\Rightarrow d:x + y + c = 0\) \(\left( {c \ne 2} \right)\).

d là tiếp tuyến của \(C\left( {I,R} \right) \)

\(\Rightarrow d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {1 - 1 + c} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| c \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \)

\(\Rightarrow \left| c \right| = 2 \Rightarrow c =  - 2\)

\( \Rightarrow d:x + y - 2 = 0\).

Giải bài 7.26 trang 42 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho đường thẳng \(\Delta :x\sin {\alpha ^ \circ } + ycos{\alpha ^ \circ } - 1 = 0\), trong đó \(\alpha \) là một số thực thuộc khoảng \(\left( {0;180} \right)\).

a) Tính khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng \(\Delta \).

b) Chứng minh rằng khi \(\alpha \) thay đổi, tồn tại một đường tròn cố định luôn tiếp xúc với đường thẳng d.

Lời giải chi tiết

a) \(d\left( {O,\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\sin {\alpha ^ \circ }} \right)}^2} + {{\left( {cos{\alpha ^ \circ }} \right)}^2}} }} = 1\).

b) Gọi \(\left( C \right)\) là đường tròn tâm O(0;0) bán kính \(R = 1\), đường tròn này cố định.

Ta chứng minh đường tròn này tiếp xúc với đường thẳng d với mọi \(\alpha\).

Vì \(d\left( {O,\Delta } \right) = 1 = R\), \(\forall \alpha\) nên \(\left( C \right)\) luôn tiếp xúc với \(\Delta \).

Vậy phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) là \({x^2} + {y^2} = 1\).

Giải bài 7.27 trang 42 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Vị trí của một chất điểm M tại thời điểm t (t trong khoảng thời gian từ 0 phút đến 180 phút) có tọa độ là \(\left( {3 + 5\sin {t^ \circ };4 + 5\cos{t^ \circ }} \right)\). Tìm tọa độ của chất điểm M khi M ở cách xa gốc tọa độ nhất.

Lời giải chi tiết

+ Từ cách xác định tọa độ của chất điểm M ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 3 + 5\sin {t^ \circ }\\{y_M} = 4 + 5\cos{t^ \circ }\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} - 3 = 5\sin {t^ \circ }\\{y_M} - 4 = 5\cos{t^ \circ }\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {\left( {{x_M} - 3} \right)^2} + {\left( {{y_M} - 4} \right)^2} = 25\).

Vậy chất điểm M luôn thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3;4} \right)\) và có bán kính \(R = 5\). Mặt khác gốc tọa độ O cũng thuộc đường tròn \(\left( C \right)\). Do đó ta có \(OM \le 2R = 10\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(OM\) là đường đường kính của đường tròn \(\left( C \right)\), tức là I là trung điểm của OM, điều đó tương đương với:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 2{x_1} - {x_0}\\{y_M} = 2{y_1} - {y_0}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin {t^ \circ } = \frac{3}{5}\\\cos{t^ \circ } = \frac{4}{5}\end{array} \right.\) (có \(t \in \left( {0;180} \right)\)thỏa mãn hệ).

Vậy \(M\left( {6;8} \right)\).