Bài 21. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Giải bài 6.31 trang 19 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Giải các phương trình mũ sau:

a) ;

b)

c)

d) .

Lời giải chi tiết

a) .

b)

c) .

d) .

Giải bài 6.32 trang 19 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Giải các phương trình lôgarit sau:

a) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {4x - 1} \right) = 2\);

b) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} - 1} \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {3x + 3} \right)\);

c) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_x}81 = 2\);

d) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}{8^x} =  - 3\).

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện: \(x > \frac{1}{4}\).

Khi đó: \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {4x - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow 4x - 1 = 9 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}\) (thoả mãn).

b) Điều kiện: \(x > 1\). Khi đó: \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} - 1} \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {3x + 3} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 3x + 3\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1{\rm{\;(loai)\;}}}\\{x = 4.}\end{array}} \right.\)

c) Điều kiện: \(0 < x \ne 1\).

Khi đó: \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_x}81 = 2 \Leftrightarrow {x^2} = 81 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 9\\x =  - 9\end{array} \right.\)

Vì \(0 < x \ne 1\) nên \(x = 9\)là nghiệm phương trình

d) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}{8^x} =  - 3 \Leftrightarrow {8^x} = {2^{ - 3}} \Leftrightarrow {2^{3x}} = {2^{ - 3}} \Leftrightarrow 3x =  - 3 \Leftrightarrow x =  - 1\).

Giải bài 6.33 trang 19 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Giải các bất phương trình mũ sau:

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

Lời giải chi tiết

a)

.

b)

.

c)

.

d)

.

Giải bài 6.34 trang 19 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Giải các bất phương trình lôgarit sau:

a) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {2x + 1} \right) \ge 2\);

b) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {3x - 1} \right) < {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {9 - 2x} \right)\);

c) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\frac{1}{2}}}\left( {4x - 5} \right)\);

d) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {2x - 1} \right) \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_4}{(x + 1)^2}\).

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện: \(x >  - \frac{1}{2}\).

Ta có: \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {2x + 1} \right) \ge 2\)

\(\Leftrightarrow 2x + 1 \ge {3^2} \Leftrightarrow x \ge 4\) (thoả mãn).

b) Điều kiện: \(\frac{1}{3} < x < \frac{9}{2}\).

Ta có: \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {3x - 1} \right) < {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {9 - 2x} \right) \)

\(\Leftrightarrow 3x - 1 < 9 - 2x \Leftrightarrow 5x < 10 \Leftrightarrow x < 2\).

Kết hợp với điều kiện, ta được: \(\frac{1}{3} < x < 2\).

c) Điều kiện: \(x > \frac{5}{4}\).

Ta có: \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\frac{1}{2}}}\left( {4x - 5} \right)\)

\(\Leftrightarrow x + 1 \ge 4x - 5 \Leftrightarrow 3x \le 6 \Leftrightarrow x \le 2\).

Kết hợp với điều kiện, ta được: \(\frac{5}{4} < x \le 2\).

d) Điều kiện: \(x > \frac{1}{2}\). Ta có: \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {2x - 1} \right) \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_4}{(x + 1)^2}\)

\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {2x - 1} \right) \le \frac{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}{{(x + 1)}^2}}}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}4}}\)

\(\Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {2x - 1} \right) \le \frac{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}{{(x + 1)}^2}}}{2}\)

\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}{(2x - 1)^2} \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}{(x + 1)^2}\)

\(\Leftrightarrow {(2x - 1)^2} \le {(x + 1)^2}\)

\(\Leftrightarrow 3x\left( {x - 2} \right) \le 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 2\).

Kết hợp với điều kiện, ta được: \(\frac{1}{2} < x \le 2\).

Giải bài 6.35 trang 19 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{1}{{{3^x} - 9}}\)

b) \(y = {\rm{ln}}\left( {4 - {x^2}} \right)\)

c) \(y = {\rm{log}}\frac{1}{{5 - x}}\)

d) \(y = \frac{2}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_4}\left( {x - 1} \right)}}\)

Lời giải chi tiết

a) \(y = \frac{1}{{{3^x} - 9}}\). Hàm số xác định khi \({3^x} \ne 9\), tức là \(x \ne 2\).

b) \(y = {\rm{ln}}\left( {4 - {x^2}} \right)\). Hàm số xác định khi \(4 - {x^2} > 0\), tức là \( - 2 < x < 2\)

c) \(y = {\rm{log}}\frac{1}{{5 - x}}\). Hàm số xác định khi \(\frac{1}{{5 - x}} > 0\), tức là \(x < 5\).

d) \(y = \frac{2}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_4}\left( {x - 1} \right)}}\). Hàm số xác định khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 1 > 0}\\{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_4}\left( {x - 1} \right) \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow x > 1,x \ne 2} \right.\).

Giải bài 6.36 trang 19 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Áp suất khí quyển \(p\) lên một vật giảm khi độ cao tăng dần. Giả sử áp suất này (tính bằng milimét thuỷ ngân) được biểu diễn theo độ cao \(h\) (tính bằng kilômét) so với mực nước biển bằng công thức \(p\left( h \right) = 760 \cdot {e^{ - 0.145h}}\).

a) Một máy bay đang chịu áp suất khí quyển \(320{\rm{mmHg}}\). Tìm độ cao của máy bay đó.

b) Một người đứng trên đỉnh của một ngọn núi và chịu áp suất khí quyển \(667{\rm{mmHg}}\). Tìm chiều cao của ngọn núi này.

Lời giải chi tiết

a) Giải phương trình \(760{e^{ - 0,145h}} = 320\), ta tìm được \(h \approx 5,965{\rm{\;km}}\).

Vậy độ cao của máy bay là khoảng \(5,965{\rm{\;km}}\).

b) Giải phương trình \(760{e^{ - 0,145h}} = 667\), ta tìm được \(h \approx 0,9{\rm{\;km}}\).

Vậy chiều cao của ngọn núi là khoảng 0,9 km.

Giải bài 6.37 trang 19 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Giả sử giá trị còn lại (triệu đồng) của một chiếc ô tô nào đó sau năm được cho bằng công thức .

a) Theo mô hình này, khi nào chiếc xe có giá trị 500 triệu đồng?

b) Theo mô hình này, khi nào chiếc xe có giá trị 200 triệu đồng?

(Kết quả của câu a và câu b được tính tròn năm).

Lời giải chi tiết

a) Giải phương trình , ta được năm.

Vậy chiếc xe có giá trị 500 triệu đồng sau khoảng 2 năm.

b) Giải phương trình , ta được năm.

Vậy chiếc xe có giá trị 200 triệu đồng sau khoảng 7 năm.

Giải bài 6.40 trang 20 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Nhắc lại rằng mức cường độ âm (đ̉o bằng \({\rm{dB}}\) ) được tính bởi công thức \({\rm{L}} = 10{\rm{log}}\frac{I}{{{I_0}}}\), trong đó \(I\) là cường độ âm tính theo \({\rm{W}}/{{\rm{m}}^2}\) và \({I_0} = {10^{ - 12}}{\rm{\;W}}/{{\rm{m}}^2}\).

a) Tính cường độ âm của âm thanh tàu điện ngầm có mức cường độ âm là 100 dB.

b) Âm thanh trên một tuyến đường giao thông có mức cường độ âm thay đồi từ \(70{\rm{\;dB}}\) đến \(85{\rm{\;dB}}\). Hỏi cường độ âm thay đổi trong đoạn nào?

Lời giải chi tiết

a) Giải phương trình \(100 = 10\log \frac{I}{{{{10}^{ - 12}}}}\) ta tìm được \(I = 0,01\)

b) Ta có: \(70 \le 10{\rm{log}}\frac{I}{{{{10}^{ - 12}}}} \le 85\).

Giải bất phương trình này, ta được \({10^{ - 5}} \le I \le {10^{ - 3,5}}\).

Vậy cường độ âm thay đổi trong đoạn \(\left[ {{{10}^{ - 5}};{{10}^{ - 3,5}}} \right]\).

Giải bài 6.38 trang 20 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Giả sử tổng chi phí hoạt động (đơn vị tỉ đồng) trong một năm của một công ty được tính bằng công thức , trong đó là thời gian tính bằng năm kế từ khi công ty được thành lập. Tính chi phí hoạt động của công ty đó vào năm thứ 10 sau khi thành lập (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba).

Lời giải chi tiết

Chi phí hoạt động của công ty đó vào năm thứ 10 sau khi thành lập là:

(tỉ đồng)

Giải bài 6.39 trang 20 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Nhắc lại rằng độ pH của một dung dịch được tính bằng công thức \({\rm{pH}} =  - {\rm{log}}\left[ {{{\rm{H}}^ + }} \right]\), ở đó \(\left[ {{{\rm{H}}^ + }} \right]\)là nồng độ ion hydrogen của dung dịch tính bằng mol/lít. Biết rằng máu của người bình thường có độ pH từ 7,30 đến 7,45. Hỏi nồng độ ion hydrogen trong máu người bình thường nhận giá trị trong đoạn nào?

Lời giải chi tiết

Ta có: \(7,30 \le  - {\rm{log}}\left[ {{{\rm{H}}^ + }} \right] \le 7,45\)

\( \Leftrightarrow  - 7,30 \ge {\rm{log}}\left[ {{{\rm{H}}^ + }} \right] \ge  - 7,45\)

\(\Leftrightarrow {10^{ - 7,30}} \ge \left[ {{{\rm{H}}^ + }} \right] \ge {10^{ - 7,45}}\).

Vậy nồng độ ion hydrogen trong máu người bình thường nhận giá trị trong đoạn \(\left[ {5,01 \cdot {{10}^{ - 8}};3,55 \cdot {{10}^{ - 8}}} \right]\).