Bài 22. Hai đường thẳng vuông góc

Giải bài 7.1 trang 26 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, tam giác SAD là tam giác đều và M là trung điểm của cạnh AD. Tính góc giữa hai đường thẳng BC và SA, BC và SM.

Lời giải chi tiết

Vì BC // AD nên\(\left( {BC,SA} \right) = \left( {AD,SA} \right) = \widehat {SAD} = {60^ \circ }\) và \(\left( {BC,SM} \right) = \left( {AD,SM} \right) = {90^ \circ }\).

Giải bài 7.2 trang 26 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình hộp ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau và góc A’AD bằng 120 độ. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau: A’C' và BD, AD và BB’, A’D và BB’.

Lời giải chi tiết

Vì ABCD là hình thoi và A’C’ // AC nên \((A’C’, BD) = (AC, BD) = 90^o\).

Vì BB’ // AA’ nên \((AD, BB’) = (AD, AA’) = 180^o - \widehat {AA'D} = 60^o \) và \(\left( {A'D, BB'} \right) = \left( {A'D,AA'} \right) = \widehat {AA'D} = 30^o\).

Giải bài 7.3 trang 26 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tứ diện \(ABCD\), gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(BD\). Biết \(MN = a\sqrt 3 ;AB = 2\sqrt 2 a\) và \(CD = 2a\). Chứng minh rằng đường thẳng \(AB\) vuông góc với đường thẳng \(CD\).

Lời giải chi tiết

Lấy \(K\) là trung điểm của cạnh \(BC\), ta có: \(NK\) và \(MK\) lần lượt là đường trung bình của tam giác \(BCD\) và tam giác \(ABC\) nên \(NK = a,MK = a\sqrt 2 \).

Do đó, \(M{N^2} = 3{a^2} = N{K^2} + M{K^2}\) suy ra tam giác \(MNK\) vuông tại \(K\), hay \(MK \bot NK\), mà \(MK//AB\) và \(NK//CD\) nên \(\left( {AB,CD} \right) = \left( {MK,NK} \right) = {90^ \circ }\), hay \(AB \bot CD\).

Giải bài 7.4 trang 26 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông tâm \(O\) và tất cả các cạnh của hình chóp đều bằng a. Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(SA,AB\).

a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau: \(MN\) và \(SD;MO\) và \(SB\).

b) Tính tang của góc giữa hai đường thẳng \(SN\) và \(BC\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(B{D^2} = S{B^2} + S{D^2} = 2{a^2}\) nên \(\Delta SBD\) vuông tại \(S\), mà \(MN//SB\), suy ra \(\left( {MN,SD} \right) = \left( {SB,SD} \right) = {90^ \circ }\).

Với O là giao điểm của \(AC\) và \(BD\) thì \(MO//SC\).

Khi đó \(\left( {MO,SB} \right) = \left( {SC,SB} \right) = \widehat {BSC} = {60^ \circ }\).

b) Vì \(ON{\rm{ }}//BC\) nên \(\left( {SN,BC} \right) = \left( {SN,ON} \right) = \widehat {SNO}\).

Ta có \(SO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2};ON = \frac{a}{2}\) và tam giác \(SNO\)vuông tại O nên \({\rm{tan}}\widehat {SNO} = \frac{{SO}}{{ON}} = \sqrt 2 \).

Vậy \({\rm{tan}}\left( {SN,BC} \right) = \sqrt 2 \).

Giải bài 7.5 trang 26 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Một chiếc thang có dạng hình thang cân cao \(6{\rm{\;m}}\), hai chân thang cách nhau \(80{\rm{\;cm}}\), hai ngọn thang cách nhau \(60{\rm{\;cm}}\). Thang được dựa vào bờ tường như hình bên. Tính góc tạo giữa đường thẳng chân tường và cạnh cột thang (tính gần đúng theo đơn vị độ, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Lời giải chi tiết

Gọi A, B là hai điểm tại hai vị tri chân thang và C, D là hai điểm tại hai vị trí ngọn thang, EF là đường chân tường. Khi đó, chân tường là EF, cột thang là AC.

Ta có EF // AB nên \(\left( {EF,AC} \right) = \left( {AB,AC} \right) = \widehat {BAC}\).

Kẻ \(CH\) vuông góc với \(AB\) tại \(H\), khi đó \(AH = \frac{{AB - CD}}{2} = 10\left( {{\rm{\;cm}}} \right) = 0,1\left( {{\rm{\;m}}} \right)\).

Tam giác \(ACH\) vuông tại \(H\) nên \({\rm{cos}}\widehat {CAH} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{0,1}}{6} = \frac{1}{{60}}\), suy ra \(\widehat {CAH} \approx 89,{05^ \circ }\).

Vậy góc tạo giữa đường thẳng chân tường và cạnh cột thang bằng khoảng \(89,{05^ \circ }\).