Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Giải bài 7.6 trang 28 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại\(B\). Kẻ \(AM\) vuông góc với \(SB\) tại \(M\) và \(AN\) vuông góc với \(SC\) tại\(N\). Chứng minh rằng:
a) \(BC \bot \left( {SAB} \right)\);
b) \(AM \bot \left( {SBC} \right)\);
c) \(SC \bot \left( {AMN} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng định lý sau:
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
\(\left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( \alpha \right)\\b \subset \alpha \end{array} \right. \Rightarrow a \bot b\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(BC \bot AB\) và \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SA \bot BC\), suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
b) Vì \(BC \bot \left( {SAB} \right)\) nên \(BC \bot AM\), mà \(AM \bot SB\), suy ra \(AM \bot \left( {SBC} \right)\).
c) Vì \(AM \bot \left( {SBC} \right)\) nên \(AM \bot SC\), mà \(AN \bot SC\), suy ra \(\left( {AMN} \right) \bot SC\).
Giải bài 7.7 trang 28 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Cho tứ diện \(OABC\) có ba cạnh \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc với nhau. Gọi \(H\) là chân đường vuông góc hạ từ \(O\) đến mặt phẳng\(\left( {ABC} \right)\). Chứng minh rằng:
a) \(BC \bot \left( {OAH} \right)\);
b) \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\);
c) \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng định lý sau:
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
\(\left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( \alpha \right)\\b \subset \alpha \end{array} \right. \Rightarrow a \bot b\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
a) Chứng minh \(OA \bot BC\), \(OH \bot BC\).
b) Chứng minh \(BC \bot AH\), \(CA \bot BH\) suy ra \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).
c)
+ Gọi \(K\) là giao điểm của \(AH\) và \(BC\).
+ Chứng minh \(OK\) là đường cao của tam giác vuông \(OBC\) và \(OH\) là đường cao của tam giác vuông \(OAK\).
+ Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông \(OBC\) và \(OAK\).
Lời giải chi tiết
a) Vì \(OA \bot OB,OA \bot OC \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right)\), suy ra \(OA \bot BC\).
Vì \(OH \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(OH \bot BC\), suy ra \(BC \bot \left( {OAH} \right)\).
b) Vì \(BC \bot \left( {OAH} \right)\) nên \(BC \bot AH\).
Tương tự, \(CA \bot BH\), do đó \(H\) là trực tâm của tam giác\(ABC\).
c) Gọi \(K\) là giao điểm của \(AH\) và \(BC\).
Ta có: \(OK \bot BC\) và \(OA \bot OK\) nên \(OK\) là đường cao của tam giác vuông \(OBC\) và \(OH\) là đường cao của tam giác vuông \(OAK\).
Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông \(OBC\) và\(OAK\), ta có: \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{K^2}}}\) và \(\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\).
Từ đó suy ra: \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\).
Giải bài 7.8 trang 28 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = AC\) và \(DB = DC\). Chứng minh rằng \(AD \bot BC\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) chứng minh \(BC \bot \left( {AMD} \right)\), suy ra \(BC \bot AD\).
Lời giải chi tiết
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), ta có: \(BC \bot AM,BC \bot MD\).
Do đó \(BC \bot \left( {AMD} \right)\), suy ra \(BC \bot AD\).
Giải bài 7.9 trang 28 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Cho hình lăng trụ tam giác có vuông góc với mặt phẳng và đáy là tam giác vuông tại . Chứng minh rằng:
a) ;
b) .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Áp dụng tính chất hai mặt đáy của hình lăng trụ song song với nhau.
Chỉ ra , AA' // BB', (ABC) // (A'B'C').
b) Chỉ ra và .
Lời giải chi tiết
a) Vì , AA' // BB', (ABC) // (A'B'C') .
b) Vì mà .
Giải bài 7.10 trang 28 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm và , . Chứng minh rằng
a) ;
b) và .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh tam giác cân, là trung điểm từ đó suy ra:
.
b) Chứng minh , suy ra (SBD).
Chứng minh , suy ra (SBD).
Lời giải chi tiết
a) Vì là giao điểm của và nên là trung điểm của và suy ra tam giác cân, suy ra .
Do đó .
b) Vì nên (SBD).
Tương tự, ta được .
Giải bài 7.11 trang 28 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Cho hình chóp có , tam giác nhọn. Gọi lần lượt là trực tâm của tam giác và . Chứng minh rằng:
a) và các đường thẳng đồng quy;
b) và .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chỉ ra nên .
Gọi là giao điểm của và
Chứng minh suy ra thẳng hàng
Do đó, đồng quy tại .
b) Chỉ ra , rồi suy ra .
Từ đó ta có , tương tự, ta chứng minh được , suy ra . Do đó .
Lời giải chi tiết
a) Chỉ ra nên .
Gọi là giao điểm của và
Ta có: , suy ra , mà là trực tâm của tam giác nên đi qua .
Do đó, đồng quy tại .
b)
Vì nên , mà , suy ra .
Do đó , lại có nên .
Từ đó ta có , tương tự, ta chứng minh được , suy ra . Do đó .
Giải bài 7.12 trang 28 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Một cấy cột được dựng trên một sàn phẳng. Người ta thả dây dọi và ngắm thấy cột song song với dây dọi. Hỏi có thể khẳng định rằng cây cột vuông góc với sàn hay không? Vì sao?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng tính chất \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( \alpha \right)\\a//b\end{array} \right. \Rightarrow b \bot \left( \alpha \right)\)
Lời giải chi tiết
Vì dây dọi song song với cây cột và dây dọi vuông góc với mặt phẳng sàn nên cây cột vuông góc với mặt phẳng sàn.
Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP11
Học đi đôi với hành! Làm ngay các bộ đề trắc nghiệm chấm điểm tức thì, có đáp án chi tiết giúp ghi nhớ kiến thức sâu và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra.
Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub
Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!