Bài 24. Phép chiếu vuông góc với mặt phẳng

Giải bài 7.13 trang 30 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng . Tính côsin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .

Lời giải chi tiết

Kẻ tại , ta có là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng nên góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng và , mà .

Vì  nên , hay  là tâm của tam giác, suy ra.

Từ đó ta tính được:  .

 

Vậy côsin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng .

Giải bài 7.14 trang 30 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng , , .

a) Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .

b) Tính tang của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .

Lời giải chi tiết

a) Ta có là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng .

Khi đó .

Mặt khác tam giác vuông tại có và .

Vậy đường thẳng hợp với  mặt phẳng một góc .

b) Ta có là hình chiếu vuông góc của lên mp.

Khi đó .

Mặt khác tam giác vuông tại có .

Do đó .

Vậy tang góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là .

Giải bài 7.15 trang 30 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), đáy là tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\), biết \(AB = a\), \(SA = a\sqrt 6 \).

a) Tính tang góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

b) Tính sin góc giữa đường thẳng \(AC\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Gọi \(M\) là trung điểm đoạn \(AC\) thì \(BM \bot AC \Rightarrow BM \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow SM\) là hình chiếu vuông góc của \(SB\) lên mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

Khi đó \(\left( {\widehat {SB,\left( {SAC} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SB,SM}} \right) = \widehat {BSM}\).

Tam giác \(SBM\) vuông tại \(M\) có \(BM = AM = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) và \(SM = \sqrt {S{A^2} + A{M^2}}  = \frac{{a\sqrt {26} }}{2}\)

Do đó \(\tan \widehat {BSM} = \frac{{BM}}{{SM}} = \frac{{\sqrt {13} }}{{13}}\).

b) Trong mp\(\left( {SAB} \right)\), kẻ \(AH \bot SB\) thì \(AH \bot \left( {SBC} \right)\) (vì \(AH \bot SB,AH \bot BC\)).

Khi đó \(HC\) là hình chiếu vuông góc của \(AC\) lên mp\(\left( {SBC} \right)\).

Suy ra \(\left( {\widehat {AC,\left( {SBC} \right)}} \right) = \left( {\widehat {AC,HC}} \right) = \widehat {ACH}\).

Mặt khác tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\) có \(AC = a\sqrt 2 \) và \(AH = \frac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}\).

Do đó \(\sin \widehat {ACH} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{\sqrt {21} }}{7}\).

Giải bài 7.16 trang 31 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình hộp có đáy là hình vuông cạnh a và , hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng trùng với trung điểm của . Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .

Lời giải chi tiết

Gọi là giao điểm của và .

Ta có: là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng , góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa và .

Mà , ta lại có .

Do đó ,

 

Suy ra .

Vậy góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng .

Giải bài 7.17 trang 31 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\) và các cạnh đều bằng \({\rm{a}}\).

a) Chứng minh rằng \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

b) Tính góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).

c) Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(SC\) và \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(OM\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\). Tính \({\rm{sin}}\alpha \).

Lời giải chi tiết

a) Có SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = a.

Vì O là trung điểm của AC và BD nên SO vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao của hai tam giác cân SAC và SBD.

Ta có: \(SO \bot AC\); \(SO \bot BD\) nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

b) Vì \(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot AO\); mà \(AO \bot BD\) (hai đường chéo hình vuông) nên \(AO \bot \left( {SBD} \right)\).

Vì \(AO \bot \left( {SBD} \right)\) nên O là hình chiếu vuông  góc của A trên mặt phẳng (SBD), do đó SO là hình chiếu vuông góc của SO trên mặt phẳng (SBD).

Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) bằng góc giữa hai đường thẳng SA và SO. Mà \(\left( {SA,SO} \right) = \widehat {ASO}\) nên góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) bằng góc \(\widehat {ASO}\). Xét tam giác SAC có

Có \(\left\{ \begin{array}{l}S{A^2} + S{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\\A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\end{array} \right. \Rightarrow S{A^2} + S{C^2} = A{C^2} \Rightarrow SA \bot SC\) (định lí Pythagore đảo), suy ra tam giác SAC vuông cân tại \(S\) và \(\widehat {ASO} = {45^o}\). Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) bằng \({45^o}\).

c) Kẻ \(OK \bot BC\) tại K, \(OH \bot SK\) tại H.

Có \(\left\{ \begin{array}{l}SO \bot (ABCD) \Rightarrow SO \bot BC\\OK \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SOK) \Rightarrow BC \bot OH\).

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OH\\SK \bot OH\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot (SBC)\), hay H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (SBC).

Suy ra HM là hình chiếu vuông góc của OM trên mặt phẳng (SBC), do đó góc giữa đường thẳng OM và mặt phẳng (SBC) bằng góc giữa hai đường thẳng OM và MH, mà \(\left( {OM,MH} \right) = \widehat {OMH}\) nên góc giữa đường thẳng OM và mặt phẳng (SBC) bằng góc \(\widehat {{\rm{OMH}}}\).

Vì tam giác SAC vuông cân tại S có đường cao SO nên OA = OC = SO.

Do đó, tam giác SOC vuông cân tại O, ta lại có OM = SM = MC = \(\frac{{SC}}{2} = \frac{a}{2}\).

\(OK = \frac{a}{2}\); \(SO = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\); \(SK = \sqrt {S{B^2} - B{K^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Tam giác SOK vuông tại O, đường cao \({\rm{OH}}\) nên \({\rm{OH}}{\rm{.SK = SO}}{\rm{.OK}} \Leftrightarrow {\rm{OH}} = \frac{{{\rm{SO}} \cdot {\rm{OK}}}}{{SK}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

Vì tam giác OMH vuông tại H nên \({\rm{sin}}\alpha {\rm{\;}} = {\rm{sin}}\widehat {OMH} = \frac{{OH}}{{OM}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

Giải bài 7.18 trang 31 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Một con diều được thả với dây căng, tạo với mặt đất một góc \({60^ \circ }\). Đoạn dây diều (từ đầu ở mặt đất đến đầu ở con diều) dài \(10{\rm{\;m}}\). Hỏi hình chiếu vuông góc trên mặt đất của con diều cách đầu dây diều trên mặt đất bao nhiêu centimét (lấy giá trị nguyên gần đúng)?

Lời giải chi tiết

Gọi A là vị trí con diều, B là vị trí đầu dây diều trên mặt đất, H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt đất.

Tam giác ABH vuông tại H, góc ABH bằng \({60^ \circ }\) và AB = 10 m = 1000 cm.

Ta có: \(BH = AB \cdot {\rm{cos}}{60^ \circ } = 500\) (cm).