Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc

Giải bài 7.19 trang 34 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tứ diện đều có độ dài các cạnh bằng . Gọi là trung điểm của , kẻ vuông góc với tại .

a) Chứng minh rằng .

b) Tính côsin của góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng .

Lời giải chi tiết

a) Vì là trung điểm của nên , , do đó , suy ra , ta lại có nên .

b) Vì nên góc giữa hai mặt phẳng và bằng góc giữa hai đường thẳng và , mà nên góc giữa hai mặt phẳng và bằng .

 

Ta có: và , tam giác vuông tại nên .

Giải bài 7.21 trang 34 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, cạnh bằng $a$, góc $BAD$ bằng ${60}^{\circ }$. Kẻ $OH$ vuông góc với $SC$ tại $H$. Biết $SA\perp \left(ABCD\right)$ và $SA=\frac{a\sqrt{6}}{2}$. Chứng minh rằng:

a) $\left(SBD\right)\perp \left(SAC\right)$;

b) $\left(SBC\right)\perp \left(BDH\right)$;

c) $\left(SBC\right)\perp \left(SCD\right)$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có $\{\begin{array}{c}SA\perp \left(ABCD\right)\\ BD\subset \left(ABCD\right)\end{array}\Rightarrow SA\perp BD$.

Như vậy $\{\begin{array}{c}SA\perp BD\\ AC\perp BD\end{array}\Rightarrow BD\perp \left(SAC\right)$.

Có $\{\begin{array}{c}BD\perp \left(SAC\right)\\ BD\subset \left(SBD\right)\end{array}\Rightarrow \left(SBD\right)\perp \left(SAC\right)$.

b) Ta có $\{\begin{array}{c}BD\perp \left(SAC\right)\\ SC\subset \left(SAC\right)\end{array}\Rightarrow BD\perp SC$.

Như vậy $\{\begin{array}{c}BD\perp SC\\ OH\perp SC\end{array}\Rightarrow SC\perp \left(BDH\right)$.

Có $\{\begin{array}{c}SC\perp \left(BHD\right)\\ SC\subset \left(SBC\right)\end{array}\Rightarrow \left(SBC\right)\perp \left(BDH\right)$.

c) $\{\begin{array}{c}SA\perp \left(ABCD\right)\\ AC\subset \left(ABCD\right)\end{array}\Rightarrow SA\perp AC$.

ABCD là hình thoi cạnh a, $\widehat{BAD}={60}^o$ nên $\Delta BAD$ và $\Delta BCD$ là các tam giác đều cạnh a, độ dài $AO=CO=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Xét tam giác SAC vuông tại A:

$SC=\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{6}}{2}\right)}^2+{\left(a\sqrt{3}\right)}^2}=\frac{3a\sqrt{2}}{2}$.

Xét $\Delta CHO$ và $\Delta CAS$:

$\hat{C}$ chung;

$\widehat{CHO}=\widehat{CAS}={90}^o$.

Suy ra hai tam giác $\Delta CHO$ và $\Delta CAS$ đồng dạng (g.g).

Do đó $\frac{HO}{SA}=\frac{CO}{CS}$

$\Rightarrow HO=\frac{CO.SA}{CS}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{a\sqrt{6}}{2}}{\frac{3a\sqrt{2}}{2}}=\frac{a}{2}=\frac{BD}{2}$.

Tam giác BDH có trung tuyến $HO=DO=OB=\frac{BD}{2}$ nên tam giác BDH vuông tại H.

Khi đó $\widehat{BHD}={90}^o\Rightarrow BH\perp SC$ (1)

Ta có $\{\begin{array}{c}BH\perp SC\\ OH\perp SC\end{array}\Rightarrow SC\perp \left(BDH\right)$.

Như vậy $\{\begin{array}{c}SC\perp \left(BDH\right)\\ DH\subset \left(BDH\right)\end{array}\Rightarrow SC\perp DH$ (2)

Từ (1) và (2) được $\{\begin{array}{c}SC\perp BH\\ SC\perp DH\end{array}\Rightarrow SC\perp \left(BDH\right)$.

Vì $\{\begin{array}{c}SC\perp \left(BDH\right)\\ SC\subset \left(SBC\right)\end{array}\Rightarrow \left(SBC\right)\perp \left(BDH\right)$.

Giải bài 7.22 trang 34 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình chóp đều có tất cả các cạnh bằng . Tính côsin góc giữa hai mặt phẳng sau:

a) Mặt phẳng và mặt phẳng ;

b) Mặt phẳng và mặt phẳng .

Lời giải chi tiết

a) Gọi là giao điểm của và .

Khi đó nên ,

Kẻ tại thì , suy ra .

 Do đó, góc giữa hai mặt phằng và bằng góc giữa hai đường thẳng vả , mà nên góc giữa hai mặt phẳng và bằng .

Ta tính được , suy ra .

b) Gọi là trung điểm của . Khi đó , suy ra góc giữa hai mặt phẳng và bằng góc giữa hai đường thẳng và .

Ta có .

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ACK, ta có:

, suy ra .

Vậy côsin góc giữa hai mặt phả̉ng và bằng .

Giải bài 7.23 trang 34 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình lập phương có cạnh bằng .

a) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng và .

b) Tính côsin của số đo góc nhị diện .

Lời giải chi tiết

a) Gọi là giao điểm của và , ta có: nên góc giữa hai mặt phẳng và bằng góc giữa hai đường thẳng mà nên góc giữa hai mặt phẳng và bằng .

Ta có: .

Suy ra .

b) Vì nên góc nhị diện , bằng .

Ta có nên .

Giải bài 7.24 trang 34 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a, biết , và . Tính côsin của số đo góc nhị diện và góc nhị diện . 

Lời giải chi tiết

Ta có nên góc nhị diện bằng .

Vì tam giác vuông tại nên và .

 

Kẻ tại thì nên .

Ta có nên tam giác vuông tại , tính được , và .

Áp dụng định lí côsin trong tam giác , ta có: .

Giải bài 7.25 trang 35 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), tam giác \(SAD\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\). Gọi \(H,M\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AD\) và \(AB\).

a) Tính côsin của góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\).

b) Chứng minh rằng \(\left( {SMD} \right) \bot \left( {SHC} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SH \bot AD\) nên \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\), suy ra góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng góc giữa hai đường thẳng \({\rm{SC}}\) và \({\rm{CH}}\), mà \(\left( {{\rm{SC}},{\rm{CH}}} \right) = \widehat {{\rm{SCH}}}\), ta tính được \(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},HC = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\) và \(SC = a\sqrt 2 \).

Do đó \({\rm{cos}}\widehat {SHC} = \frac{{HC}}{{SC}} = \frac{{\sqrt {10} }}{4}\).

 

b) Ta có \(DM \bot CH,DM \bot SH\) nên \(DM \bot \left( {SCH} \right)\). Hơn nữa, mặt phẳng (SDM) chứa đường thẳng \(DM\) nên \(\left( {SDM} \right) \bot \left( {SCH} \right)\).

Giải bài 7.26 trang 35 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Một viên bi được thả lăn trên một mặt phẳng nằm nghiêng (so với mặt phẳng nằm ngang). Coi viên bi chịu tác dụng của hai lực chính là lực hút của Trái Đất (theo phương thẳng đứng, hướng xuống dưới) và phản lực, vuông góc với mặt phẳng nằm nghiêng, hướng lên trên. Giải thích vì sao viên bi di chuyển trên một đường thẳng vuông góc với giao tuyến của mặt phẳng nằm nghiêng và mặt phẳng nằm ngang.

Lời giải chi tiết

Gọi a là giao tuyến của mặt phẳng nằm ngang và mặt phẳng nằm nghiêng. Phương của lực hút trái đất vuông góc với mặt phẳng nằm ngang, phương của phản lực vuông góc với mặt phẳng nghiêng nên phương của hai lực nói trên đều vuông góc với đường thẳng \({\rm{a}}\), do đó đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa hai phương của hai lực đó.

Vì tổng hợp lực của trọng lực và phản lực là một lực có phương nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên phương đó vuông góc với \({\rm{a}}\). Do đó, viên bi lăn dọc theo đường thẳng vuông góc với đường thẳng \({\rm{a}}\).

Giải bài 7.20 trang 34 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AC = BC,AD = BD\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Chứng minh rằng \(\left( {CDM} \right) \bot \left( {ABC} \right)\) và \(\left( {CDM} \right) \bot \left( {ABD} \right)\).

Lời giải chi tiết

Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AB \bot CM\), \(AB \bot DM\), suy ra \(AB \bot \left( {CDM} \right)\).

Vì hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {ABD} \right)\) đều chứa đường thẳng \(AB\) nên \(\left( {ABC} \right) \bot \left( {CDM} \right),\left( {ABD} \right) \bot \left( {CDM} \right)\).