Bài 25. Nhị thức newton

Giải bài 8.13 trang 57 SBT toán 10 - Kết nối tri thức

Đề bài

Khai triển các đa thức:

a) \({(x - 2)^4}\);

b) \({(x + 2)^5}\);

c) \({(2x + 3y)^4}\);

d) \({(2x - y)^5}\).

Lời giải chi tiết

a) \({(x - 2)^4}\)

\(= {x^4} + 4{x^3}( - 2) + 6{x^2}{( - 2)^2} + 4x{( - 2)^3} + {( - 2)^4}\)

\( = {x^4} - 8{x^3} + 24{x^2} - 32x + 16\).

b) \({(x + 2)^5} \)

\(= {x^5} + 5{x^4}.2 + 10{x^3}{.2^2} + 10{x^2}{.2^3} + 5x{.2^4} + {2^5}\)

\( = {x^5} + 10{x^4} + 40{x^3} + 80{x^2} + 80x + 32\).    

c) \({(2x + 3y)^4} \)

\(= {(2x)^4} + 4{(2x)^3}(3y) + 6{(2x)^2}{(3y)^2} + 4(2x){(3y)^3} + {(3y)^4}\)

\( = 16{x^4} + 96{x^3}y + 216{x^2}{y^2} + 216x{y^3} + 81{y^4}\)

d) \({(2x - y)^5} = {(2x)^5} + 5{(2x)^4}.( - y) + 10{(2x)^3}.{( - y)^2}\)

\( + 10{(2x)^2}.{( - y)^3} + 5(2x).{( - y)^4} + {( - y)^5}\)

\( = 32{x^5} - 80{x^4}y + 80{x^3}{y^2} - 40{x^2}{y^3} + 10x{y^4} - {y^5}\).

Giải bài 8.14 trang 57 SBT toán 10 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong khai triển của \({(5x - 2)^5}\), số mũ của x được sắp xếp theo lũy thừa tăng dần, hãy tìm hạng tử thứ hai. 

Lời giải chi tiết

\({(5x - 2)^5}\)

\(= {(5x)^5} + 5{(5x)^4}.( - 2) + 10{(5x)^3}.{( - 2)^2}\)

\(+ 10{(5x)^2}.{( - 2)^3} + 5(5x).{( - 2)^4} + {( - 2)^5}\)

\( =  - 32 + 400x - 2000{x^2} + 5000{x^3} \)

\(- 6250{x^4} + 3125{x^5}\).

 Vậy hạng tử thứ 2 với số mũ của x được sắp xếp theo lũy thừa tăng dần là 400x.

Giải bài 8.15 trang 57 SBT toán 10 - Kết nối tri thức

Đề bài

Hãy sử dụng ba số hạng đầu tiên trong khai triển của \({(1 + 0,03)^4}\) để tính giá trị gần đúng của \(1,{03^4}\). Xác định sai số tuyệt đối.

Lời giải chi tiết

 Ta có: \(1,{03^4} = {(1 + 0,03)^4} \)

\(= {1^4} + {4.1^3}.(0,03) + {6.1^2}.{(0,03)^2} + ...1.1254\).

Dùng máy tính ta tính được \(1,{03^4} = 1,1255088\).

Vậy sai số tuyệt đối là:

\(\left| {1,1254 - 1,1255088112550881} \right| \)

\(= 0,00010880001088\).

Giải bài 8.16 trang 57 SBT toán 10 - Kết nối tri thức

Đề bài

Xác định hạng tử không chứa x trong khai triển của \({\left( {x + \frac{2}{x}} \right)^4}\).

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {x + \frac{2}{x}} \right)^4} = {x^4} + 4{x^3}\frac{2}{x} + 6{x^2}{\left( {\frac{2}{x}} \right)^2} + 4x{\left( {\frac{2}{x}} \right)^3} + {\left( {\frac{2}{x}} \right)^4}\\ = {x^4} + 8{x^2} + 24 + \frac{{32}}{{{x^2}}} + \frac{{16}}{{{x^4}}}\end{array}\)

             

Vậy hạng tử không chứa x là 24.

 

Giải bài 8.17 trang 57 SBT toán 10 - Kết nối tri thức

Đề bài

Khai triển \({\left( {{z^2} + 1 + \frac{1}{z}} \right)^4}\).

Lời giải chi tiết

Ta có: \({\left( {{z^2} + 1 + \frac{1}{z}} \right)^4}\)

\( = {({z^2} + 1)^4} + 4{({z^2} + 1)^3}\frac{1}{z} + 6{({z^2} + 1)^2}{\left( {\frac{1}{z}} \right)^2} \)

\(+ 4({z^2} + 1){\left( {\frac{1}{z}} \right)^3} + {\left( {\frac{1}{z}} \right)^4}\)

\( = ({z^8} + 4{z^6} + 6{z^4} + 4{z^2} + 1) \)

\(+ 4.({z^6} + 3{z^4} + 3{z^2} + 1)\left( {\frac{1}{z}} \right) \)

\(+ 6({z^4} + 2{z^2} + 1)\left( {\frac{1}{{{z^2}}}} \right) \)

\(+ 4({z^2} + 1)\left( {\frac{1}{{{z^3}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{z^4}}}} \right)\)

\( = {z^8} + 4{z^6} + 4{z^5} + 12{z^3} + 10{z^2}\)

\(+ 12z + 13 + \frac{8}{z} + \frac{6}{{{z^2}}} + \frac{4}{{{z^3}}} + \frac{1}{{{z^4}}}\).