Bài 26. Khoảng cách

Giải bài 7.27 trang 37 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Tính theo \(a\) khoảng cách

a) Giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(C'D'\).

b) Giữa đường thẳng \(AC\) và \(\left( {A'B'C'D'} \right)\).

c) Từ điểm \(A\) đường thẳng \(B'D'\).

d) Giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(B'D'\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a)

Bước 1: Xác định đường vuông góc chung hai đường thẳng

Bước 2: Tính độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng

b) Vì \(AC\parallel \left( {A'B'C'D'} \right)\) nên \(d\left( {AC,\left( {A'B'C'D'} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {A'B'C'D'} \right)} \right) = AA'\).

c) Gọi \(O'\) là giao điểm của \(A'C'\) và \(B'D'\) ta có \(AO' \bot B'D'\), theo định lý Pythagore áp dụng cho tam giác \(AA'O'\) vuông tại \(A'\) thì \(AO' = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

Do đó, \(d\left( {A,B'D'} \right) = AO'\).

d) Ta có \(d\left( {AC,B'D'} \right) = d\left( {AC,\left( {A'B'C'D'} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {A'B'C'D'} \right)} \right) = AA'\).

Lời giải chi tiết

a) Vì \(BC'\) vuông góc với cả hai đường thẳng \(AB\)và \(C'D'\) nên \(d\left( {AB,C'D'} \right) = BC' = a\sqrt 2 \).

b) Vì \(AC\parallel \left( {A'B'C'D'} \right)\) nên \(d\left( {AC,\left( {A'B'C'D'} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {A'B'C'D'} \right)} \right) = AA' = a\).

c) Gọi \(O'\) là giao điểm của \(A'C'\) và \(B'D'\) ta có \(AO' \bot B'D'\), theo định lý Pythagore áp dụng cho tam giác \(AA'O'\) vuông tại \(A'\) thì \(AO' = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\). Do đó, \(d\left( {A,B'D'} \right) = AO' = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

d) Ta có \(d\left( {AC,B'D'} \right) = d\left( {AC,\left( {A'B'C'D'} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {A'B'C'D'} \right)} \right) = AA' = a\).

Giải bài 7.28 trang 38 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\). \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(SA = 2a\). Tính theo \(a\) khoảng cách:

a) Từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

b) Từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

c) Giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SC\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

Bước 1: Xác định hình chiếu vuông góc của \B\) lên mặt phẳng \((SAC)\) là \(H\).

Bước 2: Tính \(BH\).

a) Tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

Bước 1: Xác định hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là \(K\)

Bước 2: Tính \(AK\).

c) Tính khoảng cách từ giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SC\).

Bước 1: Dựng mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) chứa \(SC\) và song song với \(AB\)

Dựng hình bình hành \(ABCD\) thì \(AB//\left( {SCD} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) chứa \(SC\) nên \(d\left( {AB,SC} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right)\). Mà \(d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)\).

Bước 2: Tính \(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)\).

Kết luận \(d\left( {AB,SC} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Kẻ \(BH \bot AC\) tại \(H\), mà \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SA \bot BH\), suy ra \(BH \bot \left( {SAC} \right)\).

Do đó, \(d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = BH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

b) Kẻ \(AM \bot BC\) tại \(M\) và \(AK \bot SM\) tại \(K\) thì \(AK \bot \left( {SBC} \right)\), suy ra \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AK\).

Ta có: \(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{{19}}{{12{a^2}}} \Rightarrow AK = 2{\rm{a}}\sqrt {\frac{3}{{19}}} \). Nên \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = 2{\rm{a}}\sqrt {\frac{3}{{19}}} \).

c) Dựng hình bình hành \(ABCD\) thì \(AB\parallel \left( {SCD} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) chứa \(SC\) nên\(d\left( {AB,SC} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right)\).

Mà \(d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)\).

Kẻ AN vuông góc với CD, AQ vuông góc với SN.

\(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AQ = 2{\rm{a}}\sqrt {\frac{3}{{19}}} \). Vậy \(d\left( {AB,SC} \right) = 2{\rm{a}}\sqrt {\frac{3}{{19}}} \).

Giải bài 7.29 trang 38 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , góc bằng , biết tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . Tính theo a khoảng cách:

a) Từ điểm đến mặt phẳng .

b) Từ điểm đến mặt phẳng .

c) Giữa hai đường thẳng và .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .

Bước 1: Kẻ vuông góc với tại

Do

Bước 2: Tính

b) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .

Bước 1: Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .

Bước 2: Nhận xét là trung điểm của nên c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .

Bước 1: Dựng hình bình hành , chứng minh được là hình chữ nhật.

Khi đó và mặt phẳng chứa nên

Bước 2: Tính

Lời giải chi tiết

a) Kẻ vuông góc với tại thì , suy ra

b) Kẻ HK vuông góc với tại vuông góc với tại thì .

Ta có: và tam giác vuông tại , đường cao nên .

Lại có là trung điểm của nên .

c) Dựng hình bình hành , chứng minh được là hình chữ nhật.

Khi đó và mặt phẳng chứa nên

Kẻ vuông góc với tại vuông góc với tại thì , suy ra .

Ta có: , tam giác SHN vuông tại , đường cao nên .

Vậy .

Giải bài 7.30 trang 38 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình hộp chữ nhật có . Tính theo a khoảng cách:

a) Từ điểm đến mặt phẳng .

b) Giữa hai đường thẳng và .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .

Bước 1: Tìm hình chiếu vuông góc của xuống mặt phẳng .

Ta có .

Kẻ vuông góc với tại .

Khi đó , suy ra

Bước 2: Tính

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .

Bước 1: Dựng mặt phẳng qua đường thẳng và song song với là

Chuyển khoảng cách về chân đường vuông góc

Bước 2: Tính .

Lời giải chi tiết

a) Kẻ vuông góc với tại . Khi đó , suy ra

.

b) Ta có: nên

Vì cắt tại trung điểm của nên .

Kẻ vuông góc với tại .

Khi đó , suy ra . Vậy .

Giải bài 7.31 trang 38 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC \cdot A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) và \(AB = AC = AA' = a\). Tính theo a khoảng cách:

a) Từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(B'C'\).

b) Giữa hai đường thẳng \(BC\) và \(AB'\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(B'C'\).

Bước 1: Tìm hình chiếu của điểm trên đường thẳng \(B'C'\).

Kẻ \(AH\) vuông góc với \(B'C'\) tại \(H\) thì \(d\left( {A,B'C'} \right) = AH\).

Bước 2: Tính \(AH\)

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BC\) và \(AB'\).

Bước 1: Dựng mặt phẳng qua đường thẳng \(AB'\) và song song với \(BC\) là \(\left( {AB'C'} \right)\)

Chuyển khoảng cách về chân đường vuông góc

\(d\left( {BC,AB'} \right) = d\left( {BC,\left( {AB'C'} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {AB'C'} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {AB'C'} \right)} \right) = d\left( {A',\left( {AB'C'} \right)} \right).\)

Bước 2: Tính \(d\left( {A',\left( {AB'C'} \right)} \right)\)

Lời giải chi tiết

a) Kẻ \(AH\) vuông góc với \(B'C'\) tại \(H\) thì \(d\left( {A,B'C'} \right) = AH\).

Ta có: \(AB' = AC' = B'C' = a\sqrt 2 \) nên \(AH = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

Vậy \(d\left( {A,B'C'} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

b) Vì \(BC//\left( {AB'C'} \right)\) nên \(d\left( {BC,AB'} \right) = d\left( {BC,\left( {AB'C'} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {AB'C'} \right)} \right).\)

Mà \(CA'\) cắt \(AC'\) tại trung điểm của \(CA'\) nên \(d\left( {C,\left( {AB'C'} \right)} \right) = d\left( {A',\left( {AB'C'} \right)} \right)\)

Đặt \(d\left( {A',\left( {AB'C'} \right)} \right) = h\) thì \(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{A'{A^2}}} + \frac{1}{{A'{B^{{\rm{'}}2}}}} + \frac{1}{{A'{C^{{\rm{'}}2}}}} = \frac{3}{{{a^2}}}\), suy ra \(h = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \(d\left( {BC,AB'} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Giải bài 7.32 trang 38 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trên một mái nhà nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang, người ta dựng một chiếc cột vuông góc với mái nhà. Hỏi chiếc cột tạo với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ? Vì sao?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Vẽ hình minh họa

Gọi là giao tuyến của mặt phẳng mái nhà và mặt phẳng nằm ngang, là đường thẳng nằm trên mái nhà và vuông góc với , là chiếc cột vuông góc với mái nhà, nằm trên mặt phẳng nằm ngang, khi đó tam giác vuông tại , đường thẳng là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng nằm ngang.

Tính góc .

Lời giải chi tiết

Gọi là giao tuyến của mặt phẳng mái nhà và mặt phẳng nằm ngang, là đường thẳng nằm trên mái nhà và vuông góc với , đường thẳng là chiếc cột vuông góc với mái nhà, đường thẳng nằm trên mặt phẳng nằm ngang, khi đó tam giác vuông tại , đường thẳng là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng nằm ngang, mà góc bằng nên góc giữa hai đường thẳng và bằng .

Vậy góc giữa đường thẳng (chiếc cột) và mặt phẳng nằm ngang bằng góc giữa hai đường và bằng .

Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP11

Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub

Tải ứng dụng Tri Thức Hub