Bài 29. Tứ giác nội tiếp
Giải bài 9.21 trang 55 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2
Đề bài
Hãy cho biết số đo các góc còn lại của tứ giác nội tiếp ABCD trong mỗi trường hợp sau:
a) ;
b) ;
c) ;
d) .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Vì ABCD là tứ giác nội tiếp nên , từ đó tính các góc còn lại của tứ giác.
Lời giải chi tiết
Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên:
a) ;
b) ;
c) ;
d) .
Giải bài 9.22 trang 55 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2
Đề bài
Hãy cho biết số đo các góc còn lại của tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) trong mỗi trường hợp sau:
a) .
b) .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Trong một đường tròn, các góc nội tiếp chắn cung nhỏ thì có số đo bằng nửa số đo góc ở tâm chắn cùng một cung.
Lời giải chi tiết
a)
;
,
.
b)
;
,
.
Giải bài 9.23 trang 55 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2
Đề bài
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm E. Tính số đo các góc của tứ giác ABCD, biết rằng và .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ .
+ Ta có: ,
,
.
+
.
+ Vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên .
Lời giải chi tiết
a) Tam giác ABE có: .
Xét đường tròn (O):
+ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ AD).
+ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ AB).
+ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ CB).
Ta có:
Vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên
Giải bài 9.24 trang 56 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2
Đề bài
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) sao cho hai tia AB và DC cắt nhau tại điểm K, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm H. Kí hiệu là cung AD không chứa điểm B và là cung BC không chứa A. Chứng minh rằng:
a) (sđ - sđ);
b) (sđ + sđ).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh sđ, sđ nên (sđ-sđ).
b) Chứng minh sđ. Suy ra
Lời giải chi tiết
a) Xét (O): sđ (góc nội tiếp chắn cung AD), sđ (góc nội tiếp chắn cung BC).
Do đó, (sđ - sđ).
b) Vì góc BAC là góc nội tiếp đường tròn (O) chắn cung BC nên sđ.
Do đó,
(sđ + sđ).
Giải bài 9.25 trang 56 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2
Đề bài
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) sao cho hai tia AB và DC cắt nhau tại điểm I. Chứng minh rằng:
a) ;
b) .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) + Chứng minh , từ đó chứng minh được .
+ Chứng minh , từ đó chứng minh được .
b) Từ a ta suy ra: , . Do đó, .
Lời giải chi tiết
a) Vì tứ giác ABCD nội tiếp (O) nên . Mà nên .
Tam giác IAD và tam giác ICB có: góc I chung, nên .
Tam giác IAC và tam giác IDB có: góc I chung, (hai góc nội tiếp (O) cùng chắn cung BC)
Do đó, .
b) Vì nên ; nên .
Do đó, .
Giải bài 9.26 trang 56 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2
Đề bài
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm J. Chứng minh rằng:
a) ;
b) .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) + Chứng minh , , suy ra .
+ Chứng minh , nên .
b) Từ a suy ra: ; nên .
Lời giải chi tiết
a) Tam giác JAD và tam giác JBC có: (hai góc đối đỉnh), (hai góc nội tiếp đường tròn (O) cùng chắn cung nhỏ DC). Do đó, .
Tam giác JAB và tam giác JDC có: (hai góc đối đỉnh), (hai góc nội tiếp đường tròn (O) cùng chắn cung nhỏ BC). Do đó, .
b) Vì nên ; nên .
Do đó, .
Giải bài 9.27 trang 56 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2
Đề bài
a) Nếu một hình bình hành nội tiếp một đường tròn thì hình đó phải là là hình chữ nhật;
b) Nếu một hình thoi nội tiếp một đường tròn thì hình đó phải là hình vuông;
c) Nếu một hình thang nội tiếp một đường tròn thì hình đó phải là hình thang cân.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
b) Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc vuông là hình vuông.
c) Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là một hình thang cân.
Lời giải chi tiết
a) Giả sử hình bình hành ABCD nội tiếp đường tròn (O), ta cần chứng minh ABCD là hình chữ nhật.
Thật vậy:
Do hình bình hành ABCD nội tiếp nên tổng các góc đối bằng . Do đó .
Suy ra, hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.
b) Giả sử hình thoi ABCD nội tiếp đường tròn (O), ta cần chứng minh ABCD là hình vuông.
Thật vậy. Theo câu a, ta có: Hình thoi ABCD là hình chữ nhật. Mà hình chữ nhật ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Do vậy ABCD là hình vuông.
c) Giả sử hình thang ABCD (AB // CD) nội tiếp đường tròn (O), ta cần minh rằng ABCD là hình thang cân. Thật vậy:
Do hình thang ABCD nội tiếp nên tổng các góc đối bằng . Do đó, .
Do vậy ABCD là hình thang cân.
Giải bài 9.28 trang 56 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2
Đề bài
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4cm. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ nội tiếp một đường tròn và tìm bán kính, chu vi của đường tròn đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Chứng minh tam giác MQA vuông cân tại A, áp dụng định lí Pythagore để tính QM.
+ Tương tự, ta tính được MN, NP, PQ, suy ra MNPQ là hình thoi.
+ , từ đó suy ra MNPQ là hình vuông.
+ Suy ra, tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn đường kính MP, bán kính .
+ Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác MPQ vuông tại Q tính được MP.
+ Chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNPQ là: .
Lời giải chi tiết
Vì ABCD là hình vuông nên . Mà M, Q lần lượt là trung điểm của AB và AD nên .
Do đó, tam giác QAM vuông cân tại A.
Suy ra, (định lí Pythagore), suy ra.
Tương tự ta có: . Do đó, MNPQ là hình thoi.
Ta có:
Do đó, hình thoi MNPQ là hình vuông.
Suy ra, tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn đường kính MP.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác MPQ vuông tại Q có:
.
Suy ra: .
Do đó, bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNPQ là: .
Chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNPQ là: .
Giải bài 9.29 trang 56 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2
Đề bài
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3cm và nội tiếp đường tròn (O) như Hình 9.8. Tính tổng diện tích của bốn hình viên phân được giới hạn bởi các cạnh hình vuông (phần tô đậm trong hình).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Tính diện tích hình vuông ABCD.
+ Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B tính được AC.
+ Đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có bán kính là: .
+ Diện tích hình tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là: .
Tổng diện tích bốn hình viên phân giới hạn bởi các cạnh hình vuông là: .
Lời giải chi tiết
Diện tích hình vuông ABCD là: .
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B có: nên
Đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có bán kính là: .
Diện tích hình tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là: .
Tổng diện tích bốn hình viên phân giới hạn bởi các cạnh hình vuông là: .
Giải bài 9.30 trang 56 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2
Đề bài
Cho hình thoi ABCD có AC=8cm, BD=4cm. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ nội tiếp một đường tròn và tìm bán kính của đường tròn đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Gọi O là giao điểm của AC và BD.
+ Tính được OA, OB, OC, OD và chỉ ra AC vuông góc với BD tại O.
+ Chứng minh M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB, từ đó tính được MO.
+ Chứng minh được nên tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn (O) bán kính MO.
Lời giải chi tiết
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Vì ABCD là hình thoi nên và AC vuông góc với BD tại O.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABO vuông tại O có: nên .
Do đó, .
Vì M là trung điểm của AB, tam giác AOB vuông tại O nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB và .
Tương tự ta có: .
Vậy tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn (O) bán kính .
Giải bài 9.31 trang 56 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2
Đề bài
Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (O) với AB=3cm; AD=4cm. Vẽ một hình vuông nội tiếp (O). Tính diện tích của hình vuông đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABD vuông tại A tính được BD.
+ Đường tròn (O) có tâm O là trung điểm BD và bán kính .
+ Hình vuông nội tiếp (O) có cạnh bằng a, có đường chéo .
+ Đường tròn (O) ngoại tiếp hình vuông nên , từ đó tính được a.
+ Hình vuông có diện tích là: .
Lời giải chi tiết
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABD vuông tại A có: nên .
Đường tròn (O) có tâm O là trung điểm BD và bán kính .
Hình vuông nội tiếp (O) có cạnh bằng a, có đường chéo .
Đường tròn (O) ngoại tiếp hình vuông nên , suy ra .
Hình vuông có diện tích là: .
Giải bài 9.32 trang 57 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2
Đề bài
Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao BE, CF. Một đường tròn (O) đi qua hai điểm E, F và cắt các tia đối của hai tia BF, CE lần lượt tại X và Y. Chứng minh rằng XY song song với BC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Chứng minh bốn điểm B, E, F, C cùng nằm trên đường tròn có tâm là trung điểm của BC, đường kính BC, suy ra tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp.
+ Chứng minh , suy ra XY song song với BC.
Lời giải chi tiết
Vì các tam giác vuông BEC, BFC có chung cạnh huyền BC nên bốn điểm B, E, F, C cùng nằm trên đường tròn có tâm là trung điểm của BC và bán kính . Do đó, tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp.
Vì tổng các góc đối nhau của các tứ giác nội tiếp BFEC và XFEY bằng 180 độ nên:
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên XY song song với BC.
Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP9
Học đi đôi với hành! Làm ngay các bộ đề trắc nghiệm chấm điểm tức thì, có đáp án chi tiết giúp ghi nhớ kiến thức sâu và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra.
Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub
Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!