Bài 3.12 trang 79

Đề bài

Hãy xác định các khoảng mà trên đó mỗi hàm số sau đây là liên tục

a) $f\left(x\right)=\frac{x^2+x}{x^2-x-6}$

b) $g\left(x\right)=x+\sqrt{x^2-9x}$

c) $h\left(x\right)=x^2+\cot x$

d, $t\left(x\right)=\left(x+2\sqrt{x}\right)\left(x-2\sqrt{x}\right)$

e) $u\left(x\right)=\frac{\sin 2x}{\sqrt{x}}$

Lời giải chi tiết

a, 

Tập xác định $D=\left(-\infty ;-2\right)\cup \left(3;+\infty \right)$

Hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2+x}{x^2-x-6}$ là hàm phân thức hữu tỉ nên hàm số liên tục trên các khoảng $\left(-\infty ;-2\right)$ và $\left(3;+\infty \right)$

b, 

Hàm số xác định khi và chỉ khi $x^2-9x\ge 0\iff [\begin{array}{c}x\ge 9\\ x\le 0\end{array}$

Tập xác định của hàm số là $\left(-\infty ;0\right]\cup \left[9;+\infty \right)$

Hàm số $y=x$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\left(-\infty ;0\right]$ và $\left[9;+\infty \right)$

Hàm số $y=x^2-9x$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\left(-\infty ;0\right]$ và $\left[9;+\infty \right)$

Ngoài ra, vì $x^2-9x\ge 0,\forall x\in \left(-\infty ;0\right]\cup \left[9;+\infty \right)$ nên $y=\sqrt{x^2-9x}$ liên tục trên $\left(-\infty ;0\right]$ và $\left[9;+\infty \right)$

Do đó, hàm số $y=x+\sqrt{x^2-9x}$ liên tục trên $\left(-\infty ;0\right]$ và $\left[9;+\infty \right)$

c, 

Điều kiện xác định là $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi$ với $k\in Z$

Tập xác định là $D=R\setminus \left\{k\pi ,k\in Z\right\}$

Hàm số $y=x^2$ là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên khoảng $\left(k2\pi ;\pi +k2\pi \right)$ với $k\in Z$

Hàm số $y=\cot x$ liên tục trên khoảng $\left(k2\pi ;\pi +k2\pi \right)$ với $k\in Z$

Do đó, hàm số $y=x^2+\cot x$ liên tục trên khoảng $\left(k2\pi ;\pi +k2\pi \right)$ với $k\in Z$

d, 

Điều kiện xác định $x\ge 0$. Tập xác định $D=\left[0;+\infty \right)$

Ta có $t\left(x\right)=x^2-4x$ là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên $\left[0;+\infty \right)$

e, 

Điều kiện xác định $x>0$. Tập xác định $D=\left(0;+\infty \right)$

Vì hàm số $y=\sin 2x$ liên tục trên $\left(-\infty ;+\infty \right)$ nên nó liên tục trên $\left(0;+\infty \right)$

Hàm số $y=\sqrt{x}$ liên tục trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$

Nên hàm số $y=\frac{\sin 2x}{\sqrt{x}}$ liên tục trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$