Bài 3.14 trang 80

Đề bài

Tìm các giới hạn sau:

a) $lim \frac{6 n + 3}{4 n - 1}$

b) $lim \frac{(n^{2} + 1) (2 n^{3} - 2 n + 1)}{(n - 1) {(n^{2} + 1)}^{2}}$

c) $lim \frac{\sqrt{8 n^{2} + 9}}{2 n - 1}$

d) $lim \frac{2^{n} + 4^{n}}{6^{n} + 1}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa với số mũ lớn nhất

Sử dụng các công thức sau $lim \frac{1}{n} = 0; lim \frac{1}{n^{k}} = 0$ với $k$ là số nguyên dương; $lim q^{n} = 0$ nếu $| q | < 1$

Lời giải chi tiết

a) $lim \frac{6 n + 3}{4 n - 1} = lim \frac{6 + \frac{3}{n}}{4 - \frac{1}{n}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

b) Nhận thấy tử và mẫu số lũy thừa cao nhất là $n^{5}$ nên ta chia cả tử và mẫu cho $n^{5}$ ta được

$u_{n} = \frac{(n^{2} + 1) (2 n^{3} - 2 n + 1)}{(n - 1) {(n^{2} + 1)}^{2}} = \frac{(\frac{n^{2} + 1}{n^{2}}) (\frac{2 n^{3} - 2 n + 1}{n^{3}})}{(\frac{n - 1}{n}) {(\frac{n^{2} + 1}{n^{2}})}^{2}} = \frac{(1 + \frac{1}{n^{2}}) (2 - \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}})}{(1 - \frac{1}{n}) {(1 + \frac{1}{n^{2}})}^{2}}$

Khi đó $lim u_{n} = \frac{1.2}{{1.1}^{2}} = 2$

c) Chia cả tử và mẫu cho $n$ ta được

$lim \frac{\sqrt{8 n^{2} + 9}}{2 n - 1} = lim \frac{\frac{\sqrt{8 n^{2} + 9}}{n}}{\frac{2 n - 1}{n}} = lim \frac{\sqrt{8 + \frac{9}{n^{2}}}}{2 - \frac{1}{n}} = \frac{\sqrt{8}}{2} = \sqrt{2}$

d) Vì $6^{n} > 0, \forall n \in N$ nên ta chia cả tử và mẫu cho $6^{n}$ ta được

$lim \frac{2^{n} + 4^{n}}{6^{n} + 1} = lim \frac{{(\frac{2}{6})}^{n} + {(\frac{4}{6})}^{n}}{1 + {(\frac{1}{6})}^{n}} = \frac{0}{1} = 0$