Bài 3.14 trang 80

Đề bài

Tìm các giới hạn sau:

a) $lim\frac{6n+3}{4n-1}$                     

b) $lim\frac{\left(n^2+1\right)\left(2n^3-2n+1\right)}{\left(n-1\right){\left(n^2+1\right)}^2}$

c) $lim\frac{\sqrt{8n^2+9}}{2n-1}$                          

d) $lim\frac{2^n+4^n}{6^n+1}$

Lời giải chi tiết

    a) $lim\frac{6n+3}{4n-1}=lim\frac{6+\frac{3}{n}}{4-\frac{1}{n}}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$

    b) Nhận thấy tử và mẫu số lũy thừa cao nhất là $n^5$ nên ta chia cả tử và mẫu cho $n^5$ ta được

$u_n=\frac{\left(n^2+1\right)\left(2n^3-2n+1\right)}{\left(n-1\right){\left(n^2+1\right)}^2}=\frac{\left(\frac{n^2+1}{n^2}\right)\left(\frac{2n^3-2n+1}{n^3}\right)}{\left(\frac{n-1}{n}\right){\left(\frac{n^2+1}{n^2}\right)}^2}=\frac{\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(2-\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}\right)}{\left(1-\frac{1}{n}\right){\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}^2}$

Khi đó $lim{u}_n=\frac{1.2}{{1.1}^2}=2$

c) Chia cả tử và mẫu cho $n$ ta được

$lim\frac{\sqrt{8n^2+9}}{2n-1}=lim\frac{\frac{\sqrt{8n^2+9}}{n}}{\frac{2n-1}{n}}=lim\frac{\sqrt{8+\frac{9}{n^2}}}{2-\frac{1}{n}}=\frac{\sqrt{8}}{2}=\sqrt{2}$

d) Vì $6^n>0,\forall n\in N$ nên ta chia cả tử và mẫu cho $6^n$ ta được

$lim\frac{2^n+4^n}{6^n+1}=lim\frac{{\left(\frac{2}{6}\right)}^n+{\left(\frac{4}{6}\right)}^n}{1+{\left(\frac{1}{6}\right)}^n}=\frac{0}{1}=0$