Bài 3.17 trang 80

Tìm các giới hạn:

Đề bài

Tìm các giới hạn:

a) $lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - x - 12}{x^{2} - 16}$

b) $lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{3} - 1}$

c) $lim_{x \to + \infty} \frac{x^{3} + x + 5}{2 x^{3} - 1}$

d) $lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{2 x - 1}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a, b, Đây là giới hạn tại điểm có dạng vô định $\frac{0}{0}$

Phân tích đa thức thành nhân tử để khử dạng vô định $\frac{0}{0}$

c, d, Đây là giới hạn của hàm số tại vô cực

Áp dụng các công thức sau: $lim_{x \to + \infty} \frac{c}{x^{k}} = 0; lim_{x \to - \infty} \frac{c}{x^{k}} = 0$

Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của $x$ với số mũ lớn nhất

Chú ý: $lim_{x \to - \infty} | x | = lim_{x \to - \infty} (- x)$

Lời giải chi tiết

$lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - x - 12}{x^{2} - 16} = lim_{x \to 4} \frac{(x + 3) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} = lim_{x \to 4} \frac{x + 3}{x + 4} = \frac{4 + 3}{4 + 4} = \frac{7}{8}$

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{3} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = lim_{x \to 1} \frac{x^{3} + x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1} = \frac{1^{3} + 1^{2} + 1 + 1}{1^{2} + 1 + 1} = \frac{4}{3}$

Chia cả từ và mẫu cho $x^{3}$ ta được $lim_{x \to + \infty} \frac{x^{3} + x + 5}{2 x^{3} - 1} = lim_{x \to + \infty} \frac{1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{5}{x^{3}}}{2 - \frac{1}{x^{3}}} = \frac{1}{2}$

Chia cả tử và mẫu cho $x$

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{2 x - 1} = lim_{x \to - \infty} \frac{| x | \sqrt{\frac{1}{x^{2}} + 1}}{2 x - 1} = lim_{x \to - \infty} \frac{- x \sqrt{\frac{1}{x^{2}} + 1}}{2 x - 1} = lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{1}{x^{2}} + 1}}{2 - \frac{1}{x}} = - \frac{1}{2}$