Bài 3.18 trang 80

Tìm các giới hạn

Đề bài

Tìm các giới hạn

a) $lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 x + 1}{x - 2}$

b) $lim_{x \to 1^{-}} \frac{| x - 1 |}{x^{2} - 1}$

c) $lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2}}}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a, c Đây là giới hạn một bên của hàm số

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số rồi áp dụng quy tắc tính giới hạn của một thương

$lim_{x \to a^{+}} \frac{1}{x - a} = + \infty$ và $lim_{x \to a^{-}} \frac{1}{x - a} = - \infty$ , với mọi số thực $a$ .

b, Đây là giới hạn một bên của hàm số

Dạng vô định $\frac{0}{0}$ nên ta phải thực hiện khử dạng vô định

Lời giải chi tiết

Ta có $lim_{x \to 2^{+}} (2 x + 1) = 2.2 + 1 = 5 > 0$

Với $x > 2$ thì $x - 2 > 0$ và $lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) = 0$ do đó $lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 x + 1}{x - 2} = + \infty$

Với $x < 1$ thì $| x - 1 | = - (x - 1)$

Ta có $lim_{x \to 1^{-}} \frac{| x - 1 |}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1^{-}} \frac{- (x - 1)}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1^{-}} \frac{- (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = lim_{x \to 1^{-}} \frac{- 1}{x + 1} = - \frac{1}{2}$

Với $x < 0 \Rightarrow \sqrt{x^{2}} = | x | = - x$

Ta có $lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2}}} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x + 1}{- x}$

Ta có $lim_{x \to 0^{-}} (2 x + 1) = 1 > 0$

Với $x < 0$ thì $- x > 0$ và $lim_{x \to 0^{-}} (- x) = 0$ dó đó $lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x + 1}{- x} = + \infty$

Vậy $lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2}}} = + \infty$