Bài 3.24 trang 81

Dãy số (un)(un)\left( {{u_n}} \right) với un=1+2+...+nn+2−n2,∀x∈N∗un=1+2+...+nn+2−n2,∀x∈N∗{u_n} = \frac{{1 + 2 + ... + n}}{{n + 2}} - \frac{n}{2},\,\forall x \in {\mathbb{N}^*} có giới hạn là

Đề bài

Dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{1 + 2 + . . . + n}{n + 2} - \frac{n}{2}, \forall x \in N^{*}$ có giới hạn là

A. $- \frac{1}{2} .$

B. $\frac{1}{2} .$

C. $- 1.$

D. $1.$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tổng có $n$ số tự nhiên đầu tiên là $\frac{n (n + 1)}{2}$

Đây là giới hạn của dãy số, thực hiện bằng cách chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của $n$

Lời giải chi tiết

Ta có $1 + 2 + . . . + n = \frac{n (n + 1)}{2}$

$\Rightarrow u_{n} = \frac{1 + 2 + . . . + n}{n + 2} - \frac{n}{2} = \frac{n (n + 1)}{2 (n + 2)} - \frac{n}{2} = \frac{- n}{2 (n + 2)} = \frac{- n}{2 n + 4}$

Ta có $lim u_{n} = lim \frac{- n}{2 n + 4} = lim \frac{- 1}{2 + \frac{4}{n}} = - \frac{1}{2}$

Đáp án A