Bài 3.6 trang 67

Đề bài

Điểm thi môn Toán (thang điểm 100, điểm được làm tròn đến 1) của 60 thí sinh được cho trong bảng sau:

a) Hiệu chỉnh để thu được mẫu số liệu ghép nhóm dạng Bảng 3.2.

b) Tìm các tứ phân vị và giải thích ý nghĩa của chúng.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Để tính tứ phân vị thứ nhất $Q_{1}$ của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa $Q_{1}$ , giả sử đó là nhóm thứ $p : [a_{p}; a_{p + 1})$ . Khi đó,

$Q_{1} = a_{p} + \frac{\frac{n}{4} - (m_{1} + \dots + m_{p - 1})}{m_{p}} . (a_{p + 1} - a_{p})$ .

Trong đó, n là cỡ mẫu, $m_{p}$ là tần số nhóm p, với $p = 1$ ta quy ước $m_{1} + \dots + m_{p - 1} = 0$ .

Để tính tứ phân vị thứ ba $Q_{3}$ của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa $Q_{3}$ . Giả sử đó là nhóm thứ $p : [a_{p}; a_{p + 1})$ . Khi đó,

$Q_{3} = a_{p} + \frac{\frac{3 n}{4} - (m_{1} + \dots + m_{p - 1})}{m_{p}} . (a_{p + 1} - a_{p})$ .

Trong đó, n là cỡ mẫu, $m_{p}$ là tần số nhóm p, với $p = 1$ ta quy ước $m_{1} + \dots + m_{p - 1} = 0$ .

Lời giải chi tiết

b) Cỡ mẫu $n = 60$ .

Tứ phân vị thứ nhất $Q_{1}$ là $\frac{x_{15} + x_{16}}{2}$ . Do $x_{15}, x_{16}$ đều thuộc nhóm $[40; 50)$ nên nhóm náy chứa $Q_{1}$ . Do đó,

$p = 5$ ; $a_{5} = 40$ ; $m_{5} = 15$ ; $m_{1} + m_{2} + m_{3} + m_{4} = 1 + 2 + 4 + 6 = 13$ ; $a_{6} - a_{5} = 10$ .

Ta có $Q_{1} = 40 + \frac{\frac{60}{4} - 13}{15} \times 10 = 41, 33$ .

Ý nghĩa: Có 25% số giá trị nhỏ hơn 41,33

Tứ phân vị thứ hai, $M_{e}$ là $\frac{x_{30} + x_{31}}{2}$ . Do $x_{30}; x_{31}$ đều thuộc nhóm $[50; 60)$ nên nhóm này chứa $M_{e}$ . Do đó,

$p = 6$ ; $a_{6} = 50$ ; $m_{6} = 12$ ; $m_{1} + m_{2} + m_{3} + m_{4} + m_{5} = 1 + 2 + 4 + 6 + 15 = 28$ ; $a_{7} - a_{6} = 10$ .

Ta có: $Q_{2} = 50 + \frac{\frac{60}{2} - 28}{12} \times 10 = 51, 66$ .

Ý nghĩa: Có 50% số giá trị nhỏ hơn 51,66

Tứ phân vị thứ ba $Q_{3}$ là $\frac{x_{45} + x_{46}}{2}$ . Do $x_{45}, x_{46}$ đều thuộc nhóm $[60; 70)$ nên nhóm náy chứa $Q_{3}$ . Do đó,

$p = 7$ ; $a_{7} = 60$ ; $m_{7} = 10$ ; $m_{1} + m_{2} + m_{3} + m_{4} + m_{5} + m_{6} = 1 + 2 + 4 + 6 + 15 + 12 = 40$ ; $a_{8} - a_{7} = 10$ .

Ta có: $Q_{3} = 60 + \frac{\frac{60 \times 3}{4} - 40}{10} \times 10 = 65$ .

Ý nghĩa: Có 75% số giá trị nhỏ hơn 65.