Bài 3.6 trang 73

Đề bài

Dùng định nghĩa để tính các giới hạn sau:

a, $\underset{x\to 1}{lim}\frac{1-2x}{x+3}$

b, $\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+3}$

Lời giải chi tiết

a, Hàm số $f\left(x\right)=\frac{1-2x}{x+3}$ có tập xác định $(-\infty ,-3)\cup (-3,+\infty )$

Với mọi dãy $\left(x_n\right)$, $x_n\to 1$ ta có :

$\underset{x\to 1}{lim}f\left(x_n\right)=\underset{x\to 1}{lim}\frac{1-2x_n}{x_n+3}=\frac{1-2.1}{1+3}=-\frac{1}{4}$.

Vậy $\underset{x\to 1}{lim}\frac{1-2x}{x+3}=-\frac{1}{4}.$

b, Hàm số $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+3}$ có tập xác định là $(-\infty ,-3)\cup (-3,+\infty )$

Giả sử $\left(x_n\right)$ là một dãy số bất kì , $x_n<-3,lim{x}_n=-\infty$

Ta có: $\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x_n\right)=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{\sqrt{x_n^2+1}}{x_n+3}=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{\left|x_n\right|.\sqrt{1+\frac{1}{x_n^2}}}{x_n+3}=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{-x_n.\sqrt{1+\frac{1}{x_n^2}}}{x_n+3}=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{-\sqrt{1+\frac{1}{x_n^2}}}{1+\frac{3}{x_n}}=-1$Vậy $\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+3}=-1$.