Bài 3.7 trang 67

Đề bài

Phỏng vấn một học sinh khối 11 về thời gian (giờ) ngủ của một buổi tối, thu được bảng số liệu ở bên:

a) So sánh thời gian ngủ trung bình của các bạn học sinh nam và nữ.

b) Hãy cho biết 75% học sinh khối 11 ngủ ít nhất bao nhiêu giờ?

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm kí hiệu là $\bar{x}$

$\bar{x} = \frac{m_{1} x_{1} + \dots + m_{k} x_{k}}{n}$ ,

trong đó $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ là cỡ mẫu và là giá trị đại diện của nhóm $[a_{i}, a_{i + 1})$ .

Để tính tứ phân vị thứ nhất $Q_{1}$ của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa $Q_{1}$ , giả sử đó là nhóm thứ $p : [a_{p}; a_{p + 1})$ . Khi đó,

$Q_{1} = a_{p} + \frac{\frac{n}{4} - (m_{1} + \dots + m_{p - 1})}{m_{p}} . (a_{p + 1} - a_{p})$ ,

trong đó, n là cỡ mẫu, $m_{p}$ là tần số nhóm p, với $p = 1$ ta quy ước $m_{1} + \dots + m_{p - 1} = 0$ .

Để tính tứ phân vị thứ ba $Q_{3}$ của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa $Q_{3}$ . Giả sử đó là nhóm thứ $p : [a_{p}; a_{p + 1})$ . Khi đó,

$Q_{3} = a_{p} + \frac{\frac{3 n}{4} - (m_{1} + \dots + m_{p - 1})}{m_{p}} . (a_{p + 1} - a_{p})$ ,

trong đó, n là cỡ mẫu, $m_{p}$ là tần số nhóm p, với $p = 1$ ta quy ước $m_{1} + \dots + m_{p - 1} = 0$ .

Lời giải chi tiết

Thời gian ngủ trung bình của các bạn nam:

${\bar{x}}_{n a m} = \frac{4, 5.6 + 5, 5.10 + 6, 5.13 + 7, 5.9 + 8, 5.7}{6 + 10 + 13 + 9 + 7} = 6, 52$ .

Thời gian ngủ trung bình của các bạn nữ:

${\bar{x}}_{n ữ} = \frac{4, 5.4 + 5, 5.8 + 6, 5.10 + 7, 5.11 + 8, 5.8}{4 + 8 + 10 + 11 + 8} = 6, 77$ .

Ta có 6,77 > 6,52. Như vậy thời gian ngủ trung bình của các bạn nữ nhiều hơn các bạn nam.

b) Cỡ mẫu n = 86.

Tứ phân vị thứ nhất $Q_{1}$ là $\frac{x_{21} + x_{22}}{2}$ . Do $x_{21}, x_{22}$ đều thuộc nhóm $[5; 6)$ nên nhóm này chứa $Q_{1}$ . Do đó, $p = 2$ ; $a_{2} = 5$ ; $m_{2} = 18$ ; $m_{1} = 10$ ; $a_{3} - a_{2} = 1$ .

Ta có: $Q_{1} = 5 + \frac{\frac{86}{4} - 10}{18} . 1 = 5, 64$ .

Ý nghĩa: Có 75% học sinh khối 1 ngủ ít nhất 5,64 giờ.