Bài 3. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Giải bài 2.1 trang 18 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn \( - 3x + y < 4.\)

a) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình đã cho trên mặt phẳng tọa độ.

b) Từ đó suy ra miền nghiệm của bất phương trình \( - 3x + y \le 4\) và miền nghiệm của bất phương trình \( - 3x + y \ge 4\).

Lời giải chi tiết

a) Ta biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình như sau:

Vẽ đường thẳng \(d: - 3x + y = 4\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\).

Chọn điểm \(O\left( {0;0} \right)\) là điểm không thuộc đường thẳng \(d\) và thay vào biểu thức \( - 3x + y\), ta được \( - 3.0 + 0 = 0 < 4\).

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng bờ \(d\) chứa gốc tọa độ mà (không kể \(d\), (miền không bị gạch).

b) Miền nghiệm của phương trình \( - 3x + y \le 4\) chính là nửa mặt phẳng \(d\) chứa gốc tọa độ.

Miền nghiệm của phương trình \( - 3x + y \ge 4\) chính là nửa mặt phẳng \(d\) không chứa gốc tọa độ (miền bị gạch).

Giải bài 2.2 trang 18 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho bất phương trình .

Bằng cách chuyển vế, hãy đưa bất phương trình trên về dạng tổng quát của bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn đó trên mặt phẳng tọa độ.

Lời giải chi tiết

Xét bất phương trình:

Vẽ đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ .

Chọn điểm không thuộc đường thẳng và thay vào biểu thức ta được .

Do đó, miền nghiệm của bất phương tình đã cho là nửa mặt phẳng bờ và chứa điểm .

Giải bài 2.3 trang 18 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Xác định một bất phương trình bậc nhất hai ẩn nhận nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(d\) (miền không bị gạch) làm miền nghiệm.

Lời giải chi tiết

Gọi đường thẳng \(d\) cần tìm là: \(d:y = ax + b\) \(\left( {a \ne 0} \right)\).

Nhìn vào độ thị thì đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {4;0} \right)\) và \(B\left( {0; - 2} \right)\).

Thay điểm \(A\left( {4;0} \right)\) vào \(d\) ta được: \(4a + b = 0\).

Thay điểm \(B\left( {0; - 2} \right)\) vào \(d\) ta được: \(0a + b =  - 2 \Rightarrow b =  - 2\).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4a + b = 0}\\{b =  - 2}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{1}{2}}\\{b =  - 2}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow d:y = \frac{1}{2}x - 2 \Leftrightarrow x - 2y = 4\).

Vì miền nghiệm của đồ thị là nửa mặt phẳng bờ \(d\) chứa điểm \(O\) nên bất phương trình cần tìm là: \(x - 2y \le 4\).

Giải bài 2.4 trang 19 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho bất phương trình \(x + 2y \ge  - 4.\)

a) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình đã cho trên mặt phẳng tọa độ.

b) Miền nghiệm có chứa bao nhiêu điểm \(\left( {x;y} \right)\) với \(x,\,y\) là các số nguyên âm?

Lời giải chi tiết

a) Ta biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình như sau:

Vẽ đường thẳng \(d:x + 2y = -4\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy.\)

Chọn \(O\left( {0;0} \right)\) là điểm không thuộc đường thẳng \(d\) và thay vào biểu thức \(x + 2y,\) ta được \(0 + 2.0 = 0 > - 4.\)

=> O thuộc miền nghiệm.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ \(d\) và chứa điểm \(O.\)

 

b) Các điểm với \(\left( {x;y} \right)\) nguyên âm là: \(\left( { - 1; - 1} \right),\,\,\left( { - 2; - 1} \right).\)

Giải bài 2.5 trang 19 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Một cửa hàng bán lẻ bán hai loại hạt cà phê. Loại thứ nhất giá 140 nghìn đồng/kg và loại thứ hai giá 180 nghìn đồng/kg. Cửa hàng trộn x kg loại thứ nhất và y loại thứ hai sao cho hạt cà phê đã trộn có giá không quá 170 nghìn đồng/kg.

a) Viết bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y thỏa mãn điều kiện đề bài.

b) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình tìm được ở câu a trên mặt phẳng tọa độ.

Lời giải chi tiết

a) Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số kg cà phê loại thứ nhất và loại thứ 2.

Ta có: Loại thứ nhất với giá 140 nghìn đồng/kg và loại thứ hai với giá 180 nghìn đồng/kg nên ta có: \(140x + 180y\).

Theo đề bài, ta có: \(140x + 180y \le 170\left( {x + y} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,140x + 180y \le 170x + 170y\\ \Leftrightarrow \,\, - 30x + 10y \le 0\\ \Leftrightarrow \,\,3x - y \ge 0.\end{array}\)

b) Ta biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình như sau:

Vẽ đường thẳng \(d:3x - y = 0\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\).

Chọn \(A\left( {1;1} \right)\) là điểm không thuộc đường thẳng \(d\) và thay vào biểu thức \(3x - y,\) ta được \(3.1 - 1 = 2 > 0\).

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \(3x - y \ge 0\) là nửa mặt phẳng bờ \(d\) và chứa điểm \(A\left( {1;1} \right)\).