Bài 3. Các phép biến đổi lượng giác Toán 11 Cùng khám phá

Hoạt động 1

Cho hai góc a và b, với \(0 < b < a < \pi \). Trên đường tròn lượng giác, xét các điểm \(P\left( {\cos a;\sin a} \right)\) và \(Q\left( {\cos b;\sin b} \right)\).

a) Dùng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm, giải thích vì sao: \(P{Q^2} = 2 - 2\cos \cos b - 2\sin a\sin b\).

b) Dùng định lý côsin, giải thích vì sao: \(P{Q^2} = 2 - 2\cos \left( {a - b} \right)\).

c) Từ đó suy ra \(\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\).

Phương pháp giải:

a) \(P\left( {a;b} \right),Q\left( {c;d} \right)\)

Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm: \(PQ = \sqrt {{{\left( {c - a} \right)}^2} + {{\left( {d - b} \right)}^2}} \)

b) Tam giác ABC

Định lý Côsin: \(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}}\)

Lời giải chi tiết:

a)

 \(\begin{array}{l}P{Q^2} = {\left( {\cos b - \cos a} \right)^2} + {\left( {\sin b - \sin a} \right)^2}\\ = {\cos ^2}b - 2\cos b\cos a + {\cos ^2}a + {\sin ^2}b - 2\sin b\sin a + {\sin ^2}a\\ = \left( {{{\sin }^2}a + {{\cos }^2}a} \right) + \left( {{{\sin }^2}b + {{\cos }^2}b} \right) - 2\cos a\cos b - 2\sin a\sin b\\ = 2 - 2\cos a\cos b - 2\sin a\sin b\end{array}\)

b)

\(\begin{array}{l}\cos \left( {a - b} \right) = \frac{{O{P^2} + O{Q^2} - P{Q^2}}}{{2OP.OQ}}\\ = \frac{{{1^2} + {1^2} - \left( {2 - 2\cos a\cos b - 2\sin a\sin b} \right)}}{2}\\ = \frac{{2 - 2 + 2\cos a\cos b + 2\sin a\sin b}}{2}\\ = \cos a\cos b + \sin a\sin b\end{array}\)

\( \Rightarrow P{Q^2} = 2 - 2\cos \left( {a - b} \right)\).

c) Từ phần b suy ra \(\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\).

Luyện tập 1

Tính giá trị chính xác của:

a) \(\sin \frac{\pi }{{12}}\);

b) \(\frac{{\tan {{64}^0} - \tan {{19}^0}}}{{1 + \tan {{64}^0}\tan {{19}^0}}}\).

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức cộng.

Lời giải chi tiết:

a)

\(\begin{array}{l}\sin \frac{\pi }{{12}} = \sin \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4} - \cos \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{4}\\ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{4}\end{array}\)

b) \(\frac{{\tan {{64}^0} - \tan {{19}^0}}}{{1 + \tan {{64}^0}\tan {{19}^0}}} = \tan \left( {{{64}^0} - {{19}^0}} \right) = \tan {45^0} = 1\)

Vận dụng 1

Một dòng điện xoay chiều có cường độ dòng điện i (ampe) tại thời điểm t (giây) được tính bởi công thức: \(i = 4\cos \left( {\frac{{131\pi }}{{12}}t} \right)\)

Tính giá trị chính xác của cường độ dòng điện i tại thời điểm t = 1 (giây).

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức cộng.

Lời giải chi tiết:

Cường độ dòng điện i tại thời điểm t = 1 (giây)

\(\begin{array}{l}i\left( 1 \right) = 4\cos \left( {\frac{{131\pi }}{{12}}.1} \right) = 4\cos \left( {\frac{{131\pi }}{{12}}} \right) = 4\cos \left( {11\pi  - \frac{\pi }{{12}}} \right)\\ = 4\cos \left( {\pi  - \frac{\pi }{{12}}} \right) = 4\left( {\cos \pi \cos \frac{\pi }{{12}} + \sin \pi \sin \frac{\pi }{{12}}} \right)\\ = 4\left( { - 1.\frac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{4} - 0} \right) = \sqrt 2  - \sqrt 6 \end{array}\)

Hoạt động 2

Nếu cho b = a trong các công thức:

\(\sin (a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b;\)

\(\cos (a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b;\)

\(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\)

thì ta thu được các công thức nào?

Phương pháp giải:

Thay b = a vào các công thức trên.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\sin \left( {2a} \right) = \sin a\cos a + \cos a\sin a = 2\sin a\cos a;\\\cos \left( {2a} \right) = \cos a\cos a - \sin a\sin a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a;\\\tan \left( {2a} \right) = \frac{{\tan a + \tan a}}{{1 - \tan a\tan a}} = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}.\end{array}\)

Luyện tập 2

a) Cho \(\cos \alpha  =  - \frac{1}{4}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \). Tính \(\sin 2\alpha \) và \(\tan 2\alpha \).

b) Không dùng máy tính cầm tay, tính \(\cos 112,{5^0}\).

Phương pháp giải:

Áp dụng các hệ thức cơ bản của góc lượng giác, hệ thức giữa các góc lượng giác liên quan và công thức nhân đôi.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \({\sin ^2}a = 1 - {\cos ^2}a = \frac{{15}}{{16}}\).

Mà \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \) nên \(\sin a = \frac{{\sqrt {15} }}{4}\).

\(\sin 2a = 2\sin a\cos a = 2.\frac{{\sqrt {15} }}{4}.\left( { - \frac{1}{4}} \right) =  - \frac{{\sqrt {15} }}{{8}}\).

\(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{\sqrt {15} }}{4}}}{{ - \frac{1}{4}}} =  - \sqrt {15} \).

\(\tan 2\alpha  = \frac{{ - 2\sqrt {15} }}{{1 - {{\left( { - \sqrt {15} } \right)}^2}}} = \frac{{\sqrt {15} }}{7}\).

b) Ta có: \(\cos {225^0} = \cos \left( {{{45}^0} + {{180}^0}} \right) =  - \cos {45^0} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

\({\cos ^2}112,{5^0} = \frac{{1 + \cos {{225}^0}}}{2} = \frac{{1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{2} = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{4}\)

\( \Rightarrow \cos 112,{5^0} =  - \sqrt {\frac{{2 - \sqrt 2 }}{4}}  =  - \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }}{2}\).

Vận dụng 2

Một quả bóng golf kể từ lúc được đánh đến lúc chạm mặt đất đã di chuyển được một khoảng cách d (m) theo phương nằm ngang. Biết rằng \(d = \frac{{v_0^2\sin 2\theta }}{g}\), trong đó \({v_0}\) (m/s) là vận tốc ban đầu của quả bóng, g là gia tốc trọng trường và \(\theta \) là góc đánh quả bóng so với phương nằm ngang (nguồn: https://pressbooks.uiowa.edu/clonedbook/chapter/projectile-motion/). Tính giá trị của \(\cos 2\theta \) và \(\sin \theta \) khi \({v_0}\)= 15 m/s, d = 12,5 m, g = 10 m/s² và \({0^0} < \theta  < {45^0}\).

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức cơ bản giữa các góc lượng giác và công thức nhân đôi.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}d = \frac{{v_0^2\sin 2\theta }}{g}\\ \Leftrightarrow 12,5 = \frac{{{{15}^2}.\sin 2\theta }}{{10}}\\ \Rightarrow \sin 2\theta  = \frac{5}{9}\end{array}\)

Lại có: \({\cos ^2}2\theta  = 1 - {\sin ^2}2\theta  = \frac{{56}}{{81}}\)

Mà \({0^0} < \theta  < {45^0} \Rightarrow {0^0} < 2\theta  < {90^0}\)\( \Rightarrow \cos 2\theta  = \frac{{2\sqrt {14} }}{9}\)

\({\sin ^2}\theta  = \frac{{1 - \cos 2\theta }}{2} = \frac{{9 - 2\sqrt {14} }}{{18}}\)

Mà \({0^0} < \theta  < {45^0}\)\( \Rightarrow \sin \theta  = \sqrt {\frac{{9 - 2\sqrt {14} }}{{18}}} \)

Hoạt động 3

Từ các công thức cộng, hãy tính:

a) \(\cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)\) theo \(\cos a\) và \(\cos b\).

b) \(\cos \left( {a - b} \right) - \cos \left( {a + b} \right)\) theo \(\sin a\) và \(\sin b\).

c) \(\sin \left( {a - b} \right) + \sin \left( {a + b} \right)\) theo \(\sin a\) và \(\cos b\).

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức cộng vào các công thức trên.

Lời giải chi tiết:

a) \(\cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b + \cos a\cos b - \sin a\sin b = 2\cos a\cos b\)

b) \(\cos \left( {a - b} \right) - \cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b - \cos a\cos b + \sin a\sin b = 2\sin a\sin b\)

c) \(\sin \left( {a - b} \right) + \sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b + \sin a\cos b + \cos a\sin b = 2\sin a\cos b\)

Luyện tập 3

Không dùng máy tính cầm tay, tính \(\sin \frac{\pi }{{12}}\cos \frac{{17\pi }}{{12}}\).

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng.

\[\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right]\]

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\sin \frac{\pi }{{12}}\cos \frac{{17\pi }}{{12}} = \frac{{\sin \left( {\frac{\pi }{{12}} - \frac{{17\pi }}{{12}}} \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{{12}} + \frac{{17\pi }}{{12}}} \right)}}{2} = \frac{{\sin \left( { - \frac{{4\pi }}{3}} \right) + \sin \left( {\frac{{3\pi }}{2}} \right)}}{2}\\ = \frac{{ - \frac{1}{2} - 1}}{2} =  - \frac{3}{4}\end{array}\)

Hoạt động 4

Nếu đặt u = a – b và v = a + b trong các công thức:  

\(\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)} \right];\)

\(\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a - b} \right) + \sin \left( {a + b} \right)} \right]\)

thì ta thu được các công thức nào theo u và v?

Phương pháp giải:

Thay a – b = u, a + b = v, \(a = \frac{{u + v}}{2}, - b = \frac{{u - v}}{2}\)vào công thức.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)} \right]\\ \Leftrightarrow \cos a\cos \left( { - b} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)} \right]\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{u + v}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{u - v}}{2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos u + \cos v} \right)\\ \Leftrightarrow 2\cos \left( {\frac{{u + v}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{u - v}}{2}} \right) = \cos u + \cos v\\\sin a\cos \left( { - b} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a - b} \right) + \sin \left( {a + b} \right)} \right]\\ \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{u + v}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{u - v}}{2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\sin u + \sin v} \right)\\ \Leftrightarrow 2\sin \left( {\frac{{u + v}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{u - v}}{2}} \right) = \sin u + \sin v\end{array}\)

Luyện tập 4

Chứng minh \(\frac{{\cos \frac{\pi }{{17}}\cos \frac{{13\pi }}{{17}}}}{{\cos \frac{{3\pi }}{{17}} + \cos \frac{{5\pi }}{{17}}}} =  - \frac{1}{2}\).

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức lượng giác.

\(\cos \left( { - \alpha } \right) = \cos \alpha \)

\(\cos \left( {\pi  - \alpha } \right) =  - \cos \alpha \)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\frac{{\cos \frac{\pi }{{17}}\cos \frac{{13\pi }}{{17}}}}{{2\cos \frac{{4\pi }}{{17}}\cos \left( { - \frac{\pi }{{17}}} \right)}} = \frac{{\cos \frac{\pi }{{17}}\cos \frac{{13\pi }}{{17}}}}{{2\cos \frac{{4\pi }}{{17}}\cos \frac{\pi }{{17}}}} = \frac{{\cos \frac{{13\pi }}{{17}}}}{{2\cos \frac{{4\pi }}{{17}}}}\\ = \frac{{\cos \left( {\pi  - \frac{{4\pi }}{{17}}} \right)}}{{2\cos \frac{{4\pi }}{{17}}}} = \frac{{ - \cos \frac{{4\pi }}{{17}}}}{{2\cos \frac{{4\pi }}{{17}}}} =  - \frac{1}{2}.\end{array}\)