Bài 3. Các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm Toán 11 Cùng khám phá

Lý thuyết Các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm - SGK Toán 11 Cùng khám phá

I. Nhóm chứa trung vị

Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(\frac{N}{2}\), trong đó N là cỡ mẫu.

II. công thức tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm

\({M_e} = {L_m} + \frac{{\frac{N}{2} - T}}{{{n_m}}}.h\)

Trong đó:

• N là cỡ mẫu
• \({L_m}\), \({n_m}\) và \(h\) lần lượt là đầu mút trái, tần số và độ dài của nhóm chứa trung vị.
• T là tần số tích lũy của nhóm ngay trước nhóm chứa trung  vị.
• Trong trường hợp nhóm chứa trung vị là nhóm đầu tiên của mẫu số liệu, người ta quy ước \(T = 0\).

* Ý nghĩa: Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho trung vị của mẫu số liệu và có thể sử dụng làm giá trị đại diện cho mẫu số liệu.

III. Công thức tính các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Công thức tính các tứ phân vị \({Q_1},{Q_2},{Q_3}\) của mẫu số liệu ghép nhóm:

Nhóm chứa \({Q_i}\left( {i = 1,2,3} \right)\) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(\frac{{iN}}{4}\) và

\({Q_i} = {L_i} + \frac{{i.\frac{N}{4} - {T_i}}}{{{n_i}}}.h\)

Trong đó:

• N là cỡ mẫu .
• \({L_i}\), \({n_i}\) và \(h\) lần lượt là đầu mút trái, tần số và độ dài của nhóm chứa \({Q_i}\).
• \({T_i}\) là tần số tích lũy của nhóm trước nhóm chứa \({Q_i}\).
• \({Q_i}\) là nhóm đầu tiên của mẫu số liệu, người ta quy ước \({T_i} = 0\).

* Lưu ý: Trong trường hợp các nhóm có độ dài bằng nhau thì h giống nhau với mọi nhóm.

* Ý nghĩa:

- Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ của tứ phân vị của mẫu số liệu.

- Các tứ phân vị \({Q_1},{Q_2},{Q_3}\) chia mẫu số liệu ghép nhóm thành 4 phần có số liệu bằng nhau. Các tứ phân vị cho ta một hình ảnh về sự phân bố của mẫu số liệu. Dựa vào các tứ phân vị, ta có thể biết số liệu tập trung ít hay nhiều quanh trung vị.

 

 

Giải mục 1 trang 135, 136 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Giải mục 2 trang 136, 137, 138 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Giải mục 3 trang 139 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Bài 5.7 trang 141 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Bảng 5.23  biểu diễn kết quả thống kê về thời gian cần thiết để thực hiện cuộc chạy marathon đã được tổ chức ở một địa phương .

a, Xác định các tứ phân vị của mẫu số liệu

b, Xét nhóm gồm 50 % số cuộc thi có thời gian ngắn hơn đã được tổ chức. Thời gian tối đa của các cuộc thi trong nhóm này là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

a, Bảng tần số tích lũy mẫu số liệu

Ta có: \(\frac{N}{4} = \frac{{32}}{4} = 8 \Rightarrow \frac{N}{2} = 16 \Rightarrow \frac{{3N}}{4} = 24\)

Các nhóm chứa \({Q_1}\), \({Q_2}\) và \({Q_3}\) là [150,165), [180,195) và [210,225)

Độ dài các nhóm  ghép đều là h=15

Ta có: \({L_1} = 150,{n_1} = 4,{T_1} = 6\)\( \Rightarrow {Q_1} = {L_1} + \frac{{\frac{N}{4} - {T_1}}}{{{n_1}}}.h = 150 + \frac{{8 - 6}}{4}.15 = 157,5\)

           \({L_2} = 180,{n_2} = 6,{T_2} = 14\)\( \Rightarrow {Q_2} = {L_2} + \frac{{\frac{N}{2} - {T_2}}}{{{n_2}}}.h = 180 + \frac{{16 - 14}}{6}.15 = 185\)

           \({L_3} = 210,{n_3} = 5,{T_3} = 23\)\( \Rightarrow {Q_3} = {L_3} + \frac{{\frac{{3N}}{4} - {T_3}}}{{{n_3}}}.h = 210 + \frac{{24 - 23}}{5}.15 = 213\)

b, Thời gian tối đa của các cuộc thi trong nhóm này là \({Q_1}\)=157,5 phút .

Bài 5.8 trang 141 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Tuổi của một số lao động nam được thống kê trong Bảng 5.24

a, Xác định các tứ phân vị của mẫu số liệu

b, Kết quả tìm được cho biết thông tin gì về độ tuổi của các lao động nam được điều tra

Lời giải chi tiết

a, Bảng tần số tích lũy của mẫu số liệu

Ta có: \(\frac{N}{4} = \frac{{342}}{4} = 85,5 \Rightarrow \frac{N}{2} = 171 \Rightarrow \frac{{3N}}{4} = 256,5\)

Các nhóm chứa \({Q_1}\), \({Q_2}\) và \({Q_3}\) là [30,35); [35,40) và [40,45)

Độ dài các nhóm ghép đều là h= 5

Ta có:  \({L_1} = 30,{n_1} = 90,{T_1} = 78\)\( \Rightarrow {Q_1} = {L_1} + \frac{{\frac{N}{4} - {T_1}}}{{{n_1}}}.h = 30 + \frac{{85,5 - 78}}{{90}}.5 \approx 30,42\)

           \({L_2} = 35,{n_2} = 36,{T_2} = 168\)\( \Rightarrow {Q_2} = {L_2} + \frac{{\frac{N}{2} - {T_2}}}{{{n_2}}}.h = 35 + \frac{{171 - 168}}{{36}}.5 \approx 35,42\)

           \({L_3} = 40,{n_3} = 58,{T_3} = 204\)\( \Rightarrow {Q_3} = {L_3} + \frac{{\frac{{3N}}{4} - {T_3}}}{{{n_3}}}.h = 40 + \frac{{256,5 - 204}}{{58}}.5 \approx 44,53\)

Như vậy làm tròn kết quả ta có: \({Q_1}\)=30, \({Q_2}\)=35 và \({Q_3}\)=45

b, Theo kết quả câu a, ta có:

Có ít nhất 25 % lao động nam có số tuổi không vượt quá 30. Cúng như vậy khoảng 50 % lao động nam có số tuổi không vượt quá 35, khoảng 75 % lao động nam có số tuổi không vượt quá 45 và khoảng 25% lao động nam có số tuổi từ 45 trở lên.

Đối với 50 % lao động nam có số tuổi ở trung tâm của dữ liệu thì đầu mút trái của khoảng điểm là 30 và đầu mút phải của khoảng điểm là 45. Vậy số tuổi của lao động tập trung ở [30,35]

Bài 5.9 trang 141 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Tham khảo trang https:///www.gso.gov.vn/ Mai thống kê diện tích trồng lúa năm 2019 của 63 tỉnh thành và tổ chức dữ liệu trong Bảng 5.25

a, Xác định các tứ phân vị của mẫu số liệu

b, Kết quả tìm được cho biết thông tin gì về diện tích trồng lúa năm 2019

Lời giải chi tiết

a, Bảng tần số tích lũy của mẫu số liệu

Ta có: \(\frac{N}{4} = \frac{{63}}{4} \Rightarrow \frac{N}{2} = \frac{{63}}{2} \Rightarrow \frac{{3N}}{4} = \frac{{189}}{4}\)

Các nhóm chứa \({Q_1}\), \({Q_2}\) và \({Q_3}\) là [30,60); [60,90) và [120,150)

Độ dài các nhóm ghép đều là h= 30

Ta có: \({L_1} = 30,{n_1} = 18,{T_1} = 7\)\( \Rightarrow {Q_1} = {L_1} + \frac{{\frac{N}{4} - {T_1}}}{{{n_1}}}.h = 30 + \frac{{\frac{{63}}{4} - 7}}{{18}}.30 \approx 44,58\)

           \({L_2} = 60,{n_2} = 9,{T_2} = 25\)\( \Rightarrow {Q_2} = {L_2} + \frac{{\frac{N}{2} - {T_2}}}{{{n_2}}}.h = 60 + \frac{{\frac{{63}}{2} - 25}}{9}.30 \approx 81,67\)

          \({L_3} = 120,{n_3} = 5,{T_3} = 43\)\( \Rightarrow {Q_3} = {L_3} + \frac{{\frac{{3N}}{4} - {T_3}}}{{{n_3}}}.h = 120 + \frac{{\frac{{189}}{4} - 43}}{5}.30 = 145,5\)

Vậy làm tròn số ta được \({Q_1}\)=45, \({Q_2}\)=82 và \({Q_3}\)=146.

b, Theo kết quả câu a, ta có:

Có ít nhất 25 % số tỉnh có diện tích không vượt quá 45 nghìn ha. Cúng như vậy khoảng 50 % số tỉnh có diện tích  không vượt quá 82 nghìn ha, khoảng 75 % số tỉnh có diện tích không vượt quá 146 nghìn ha và khoảng 25% số tỉnh có diện tích từ 45 nghìn ha trở lên.

Đối với 50 % số tỉnh có diện tích ở trung tâm của dữ liệu thì đầu mút trái của khoảng điểm là 45 và đầu mút phải của khoảng điểm là 146. Vậy số tuổi của lao động tập trung ở [45,82]

Bài 5.10 trang 141 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Lan tìm hiểu hàm lượng vitamin C trong một số loại rau củ quả và thống kê dữ liệu trong Bảng 5.26 Lan muốn phân những loại rau củ mà mình tìm hiểu thành 4 nhóm tùy theo hàm lượng vitamin C của chúng: Nhóm I gồm khoảng 25% rau củ quả có hàm lượng vitamin C thấp ; nhóm II gồm 50% loại rau củ có hàm lượng vitamin C trung bình ; nhóm III gồm khoảng 25 % loại rau củ quả có hàm lượng vitamin C cao.

Hãy xác định:

a, Đầu mút phải khoảng biểu thị của hàm lượng vitamin C nhóm I

b,  Đầu mút phải và đầu mút trái của hàm lượng vitamin C của nhóm II

c, Đầu mút trái khoảng biểu thị hàm lượng vitamin C của nhóm III

Lời giải chi tiết

Ta có : \(\frac{N}{4} = \frac{{56}}{4} = 14 \Rightarrow \frac{N}{2} = 28 \Rightarrow \frac{{3N}}{4} = 42\)

Các nhóm chứa \({Q_1}\), \({Q_2}\) và \({Q_3}\) là [30,40); [60,70) và [80,90)

Độ dài các nhóm ghép đều là h= 10

Ta có: \({L_1} = 30,{n_1} = 7,{T_1} = 9\)\( \Rightarrow {Q_1} = {L_1} + \frac{{\frac{N}{4} - {T_1}}}{{{n_1}}}.h = 30 + \frac{{14 - 9}}{7}.10 \approx 37,14\)

          \({L_2} = 60,{n_2} = 8,{T_2} = 25\)\( \Rightarrow {Q_2} = {L_2} + \frac{{\frac{N}{2} - {T_2}}}{{{n_2}}}.h = 60 + \frac{{28 - 25}}{8}.10 = 63,75\)

          \({L_3} = 80,{n_3} = 10,{T_3} = 39\)\( \Rightarrow {Q_3} = {L_3} + \frac{{\frac{{3N}}{4} - {T_3}}}{{{n_3}}}.h = 80 + \frac{{42 - 39}}{{10}}.10 = 83\)

a, Đầu mút phải khoảng biểu thị của hàm lượng vitamin C nhóm I là \({Q_1} \approx 37,14\)

b, Đầu mút trái khoảng biểu thị của hàm lượng vitamin C nhóm II là \({Q_1} \approx 37,14\)

Đầu mút phải khoảng biểu thị của hàm lượng vitamin C nhóm II là \({Q_3} = 83\)

c, Đầu mút trái khoảng biểu thị hàm lượng vitamin C của nhóm III là \({Q_3} = 83\).