Bài 3. Cấp số cộng
Câu 19 trang 114 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh rằng mỗi dãy số sau là một cấp số cộng và hãy xác định công sai của cấp số cộng đó:
LG a
Dãy số (un) với \(u_n= 19n – 5 \);
Phương pháp giải:
Dãy số \((u_n)\) được gọi là 1 CSC nếu \( {u_{n + 1}} = {u_n} + d,\forall n \in {N^*}\) với d là một hằng số.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\({u_{n + 1}} - {u_n} \)
\(= 19\left( {n + 1} \right) - 5 - \left( {19n - 5} \right) \)
\( = 19n + 19 - 5 - 19n + 5\)
\(= 19\) với mọi \(n ≥ 1\).
\( \Rightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} + 19,\forall n \in {N^*}\)
Do đó \((u_n)\) là một cấp số cộng với công sai \(d = 19\).
LG b
Dãy số (un) với \(u_n= an + b\), trong đó a và b là các hằng số.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\({u_{n + 1}} - {u_n}\)
\( = an + a + b - an - b\)
\( = a\left( {n + 1} \right) + b - \left( {an + b} \right) \)
\(= a\) với mọi \(n ≥ 1\).
\( \Rightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} + a,\forall n \in {N^*}\)
Do đó \((u_n)\) là một cấp số cộng với công sai \(d = a\).
trithuchub.com
Câu 20 trang 114 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Đề bài
Trên tia Ox lấy các điểm A1, A2, …, An, … sao cho với mỗi số nguyên dương n, OAn = n. Trong cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa tia Ox, vẽ các nửa đường tròn đường kính OAn, n = 1, 2, … . Kí hiệu u1 là diện tích của nửa hình tròn đường kính OA1 và với mỗi n ≥ 2, kí hiệu un là diện tích của hình giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính OAn – 1 , nửa đường tròn đường kính OAn và tia Ox (h 3.3). Chứng minh rằng dãy số (un) là một cấp số cộng. Hãy xác định công sai của cấp số cộng đó.
Lời giải chi tiết
Với \(n ≥ 2\) ta có :
Diện tích nửa đường tròn đường kính \(OA_n\) là: \({S_n} = \frac{1}{2}\pi .{\left( {\frac{{O{A_n}}}{2}} \right)^2} = \frac{1}{8}\pi {n^2}\)
Diện tích nửa đường tròn đường kính \(OA_{n-1}\) là: \({S_{n-1}} = \frac{1}{2}\pi .{\left( {\frac{{O{A_{n-1}}}}{2}} \right)^2} = \frac{1}{8}\pi {(n-1)^2}\)
Do đó,
\(\eqalign{
& {u_n} ={S_n} - {S_{n-1}}\cr& = \frac{1}{8}\pi {n^2} - \frac{1}{8}\pi {\left( {n - 1} \right)^2} \cr
& = {1 \over 8}\pi \left[ {\left( {{n^2} - {{\left( {n - 1} \right)}^2}} \right)} \right] \cr
& = \frac{1}{8}\pi \left( {{n^2} - {n^2} + 2n - 1} \right)\cr&= {{\left( {2n - 1} \right)\pi } \over 8}\,\left( {n \ge 2} \right) \cr
& \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} \cr&= {{2n + 1} \over 8}\pi - {{\left( {2n - 1} \right)} \over 8}\pi \cr&= {\pi \over 4},\forall n \ge 2 \cr} \)
Mặt khác
\({u_2} - {u_1} = {{3\pi } \over 8} - {\pi \over 8} = {\pi \over 4}\)
Vậy \({u_{n + 1}} - {u_n} = {\pi \over 4}\;\forall n \in\mathbb N^*\)
Do đó (un) là cấp số cộng với công sai \(d = {\pi \over 4}.\)
trithuchub.com
Câu 21 trang 114 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Trong mỗi câu sau, hãy đánh dấu “x” vào phần kết luận mà em cho là đúng :
LG a
Mỗi cấp số cộng với công sai \(d > 0\) là một dãy số
Tăng
Giảm
Không tăng cũng không giảm.
Lời giải chi tiết:
Tăng
LG b
Mỗi cấp số cộng với công sai \(d < 0\) là một dãy số
Tăng
Giảm
Không tăng cũng không giảm.
Lời giải chi tiết:
Giảm
trithuchub.com
Câu 22 trang 115 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Đề bài
Một cấp số cộng có năm số hạng mà tổng của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 28, tổng của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng 40. Hãy tìm cấp số cộng đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng tính chất của CSC: \({u_{k + 1}} + {u_{k - 1}} = 2{u_k}\)
Lời giải chi tiết
Với mỗi \(n \in \left\{ {1,{\rm{ }}2,{\rm{ }}3,{\rm{ }}4,{\rm{ }}5} \right\}\), kí hiệu un là số hạng thứ n của cấp số cộng đã cho.
Ta có:
\(\eqalign{
& 28 = {u_1} + {u_3} = 2{u_2} \Rightarrow {u_2} = 14, \cr
& 40 = {u_3} + {u_5} = 2{u_4} \Rightarrow {u_4} = 20, \cr
& 2{u_3} = {u_2} + {u_4} = 34 \Rightarrow {u_3} = 17. \cr} \)
Ta có:
\(\eqalign{
& {u_1} + {u_3} = 28 \Rightarrow {u_1} = 28 - {u_3} = 11 \cr
& {u_3} + {u_5} = 40 \Rightarrow {u_5} = 40 - {u_3} = 23 \cr} \)
Vậy cấp số cộng cần tìm là : \(11, 14, 17, 20, 23\)
trithuchub.com
Câu 23 trang 115 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Đề bài
Cho cấp số cộng (un) có \(u_{20}= -52\) và \(u_{51}= -145\). Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Công thức số hạng tổng quát của CSC: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)
Sử dụng công thức trên và kết hợp dữ kiện vài toán lập hệ phương trình ẩn d và \(u_1\).
Giải hệ tìm d và \(u_1\) suy ra \(u_n\).
Lời giải chi tiết
Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng.
Ta có:
\(\left\{ {\matrix{{{u_{20}} = - 52} \cr {{u_{51}} = - 145} \cr} } \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{u_1} + 19d = - 52} \cr {{u_1} + 50d = - 145} \cr} } \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{u_1} = 5} \cr {d = - 3} \cr} } \right.\)
Vậy
\(\eqalign{
& {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \cr&= 5 + \left( {n - 1} \right)\left( { - 3} \right) \cr
& {u_n} = - 3n + 8 \cr} \)
trithuchub.com
Câu 24 trang 115 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Đề bài
Cho cấp số cộng (un) với công sai d và cho các số nguyên dương m và k, với \(m ≥ k\). Chứng minh rằng \({u_m} = {u_k} + \left( {m-k} \right)d\).
Áp dụng : Hãy tìm công sai d của cấp số cộng (un) mà \({u_{18}} - {u_3} = 75\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Viết công thức tính \(u_m,u_k\) theo \(u_1,d\) rồi trừ hai số hạng cho nhau suy ra ĐPCM.
Sử dụng công thức \[{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\]
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\eqalign{
& {u_m} = {u_1} + \left( {m - 1} \right)d\,\left( 1 \right) \cr
& {u_k} = {u_1} + \left( {k - 1} \right)d\,\left( 2 \right) \cr} \)
Lấy (1) trừ (2) ta được :
\({u_m} - {u_k} \)\( = {u_1} + \left( {m - 1} \right)d - {u_1} - \left( {k - 1} \right)d \)\(= \left( {m - 1 - k + 1} \right)d\)\(= \left( {m - k} \right)d\)
\(\Rightarrow {u_m} = {u_k} + \left( {m - k} \right)d\)
Áp dụng :
Ta có:
\(\eqalign{
& {u_{18}} - {u_3} = \left( {18 - 3} \right)d = 15d = 75 \cr
& \Rightarrow d = 5 \cr} \)
trithuchub.com
Câu 25 trang 115 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Đề bài
Cho cấp số cộng (un) có \({u_1} - {u_3} = 6\) và \(u_5= -10\). Hãy tìm công sai và số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Công thức số hạng tổng quát của CSC: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)
Sử dụng công thức trên và kết hợp dữ kiện vài toán lập hệ phương trình ẩn d và \(u_1\).
Giải hệ tìm d và \(u_1\) suy ra \(u_n\).
Lời giải chi tiết
Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng
Ta có:
\(\left\{ {\matrix{{{u_1} - {u_3} = 6} \cr {{u_5} = - 10} \cr} } \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{u_1} - \left( {{u_1} + 2d} \right) = 6} \cr {{u_1} + 4d = - 10} \cr} } \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 2d = 6\\
{u_1} + 4d = - 10
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{d = - 3} \cr {{u_1} = 2} \cr} } \right.\)
Vậy \(d = -3\) và \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \)\(= 2 - 3\left( {n - 1} \right) = - 3n + 5\)
trithuchub.com
Câu 26 trang 115 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Đề bài
Hãy chứng minh định lí 3: \({S_n} = {{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)} \over 2}\).
Lời giải chi tiết
Ta sẽ chứng minh \({S_n} = {{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)} \over 2}\) (1)
+) Với mọi \(n \in \mathbb N^*\), bằng phương pháp qui nạp.
+) Với \(n = 1\), ta có \({S_1} = {u_1} = {{1\left( {{u_1} + {u_1}} \right)} \over 2}.\) Như vậy (1) đúng với \(n = 1\).
+) Giả sử (1) đúng khi \(n = k, k \in \mathbb N^*\), tức là:
\({S_k} = {{k\left( {{u_1} + {u_k}} \right)} \over 2}\)
+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\)
\(\eqalign{
& {S_{k + 1}} = {S_k} + {u_{k + 1}} \cr
& = {{k\left( {{u_1} + {u_k}} \right)} \over 2} + {u_{k + 1}} \cr
& = {{k\left( {{u_1} + {u_{k + 1}} - d} \right) + 2{u_{k + 1}}} \over 2} \cr
& = {{k{u_1} + \left( {k + 1} \right){u_{k + 1}} + {u_{k + 1}} - kd} \over 2} \cr
& = {{k{u_1} + \left( {k + 1} \right){u_{k + 1}} + {u_1}} \over 2} \cr
& = {{\left( {k + 1} \right)\left( {{u_1} + {u_{k + 1}}} \right)} \over 2} \cr} \)
Vậy (1) đúng với \(n = k + 1\)
Vậy (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*\).
Cách khác :
Ta có:
\(\eqalign{& \left\{ {\matrix{{{S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{n - 1}} + {u_n}} \cr {{S_n} = {u_n} + {u_{n - 1}} + ... + {u_2} + {u_1}} \cr} } \right. \cr & \Rightarrow 2{S_n} = \left( {{u_1} + {u_n}} \right) + \left( {{u_2} + {u_{n - 1}}} \right) \cr&+ ... + \left( {{u_{n - 1}} + {u_2}} \right) + \left( {{u_n} + {u_1}}\right) \cr} \)
Mà \({u_1} + {u_n}= {u_2} + {u_{n - 1}} \)\(= {u_3} + {u_{n - 2}} = ... = {u_n} + {u_1}\)
Do đó \(2{S_n} = n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)\)
\(\Rightarrow {S_n} = {n \over 2}\left( {{u_1} + {u_n}} \right)\)
trithuchub.com
Câu 27 trang 115 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Đề bài
Cho cấp số cộng (un) có \({u_2} + {u_{22}} = 60\). Hãy tính tổng 23 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng định lí 3: \({S_n} = {{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)} \over 2}\).
Lời giải chi tiết
Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng đã cho, ta có :
\({u_1} = {u_2} - d\,\text{ và }\,{u_{23}} = {u_{22}} + d\)
Do đó, áp dụng định lí 3 cho \(n = 23\), ta được :
\({S_{23}} = {{23\left( {{u_1} + {u_{23}}} \right)} \over 2} = \frac{{23\left( {{u_2} - d + {u_{22}} + d} \right)}}{2}\)
\(= {{23\left( {{u_2} + {u_{22}}} \right)} \over 2} = {{23.60} \over 2} = 23.30 = 690\)
Cách khác:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{u_2} = {u_1} + d\\
{u_{22}} = {u_1} + 21d
\end{array} \right.\\
\Rightarrow {u_2} + {u_{22}} = 60\\
\Leftrightarrow {u_1} + d + {u_1} + 21d = 60\\
\Rightarrow 2{u_1} + 22d = 60\\
\Rightarrow {S_{23}} = \frac{{23\left( {2{u_1} + 22d} \right)}}{2}\\
= \frac{{23.60}}{2} = 690
\end{array}\)
trithuchub.com
Câu 28 trang 115 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Đề bài
Số đo ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng. Hãy tìm số đo ba góc đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng tính chất tổng ba góc của tam giác bằng \(180^0\)
Tính chất CSC:\[{u_{k + 1}} + {u_{k - 1}} = 2{u_k}\]
Lời giải chi tiết
Kí hiệu A, B, C là số đo ba góc (tính theo đơn vị đo) của tam giác vuông đã cho.
Không mất tổng quát, có thể giả sử \(A ≤ B ≤ C\).
Khi đó, từ giả thiết tam giác vuông suy ra \(C = 90^0\) và A, B, C theo thứ tự đó là một cấp số cộng.
Ta có:
\(\left\{ {\matrix{{A + C = 2B} \cr {A + B + C = 180^\circ } \cr} } \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{A + 90^\circ = 2B} \cr {A + B = 90^\circ } \cr} } \right. \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A - 2B = - {90^0}\\
A + B = {90^0}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 3B = - {180^0}\\
A + B = {90^0}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
B = {60^0}\\
A + {60^0} = {90^0}
\end{array} \right.
\end{array}\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{A = 30^\circ } \cr {B = 60^\circ } \cr} } \right.\)
trithuchub.com
Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP11
Học đi đôi với hành! Làm ngay các bộ đề trắc nghiệm chấm điểm tức thì, có đáp án chi tiết giúp ghi nhớ kiến thức sâu và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra.
Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub
Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!