Bài 3. Cấp số nhân Toán 11 Cùng khám phá

Hoạt động 1

Các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) dưới đây được cho bằng cách liệt kê:

\(\begin{array}{l}\left( {{u_n}} \right):1,\,3,\,9,\,27,\,81,\,243,...\\\left( {{v_n}} \right):2, - 1,\frac{1}{2}, - \frac{1}{4},\frac{1}{8},...\end{array}\)

a) Hãy dự đoán quy luật hình thành các số hạng của các dãy số trên.

b) Hãy viết ba số hạng tiếp theo của các dãy số trên.

Phương pháp giải:

a) So sánh số sau với số trước để tìm ra quy luật.

b) Dựa theo quy luật dự đoán ở phần a để tính 3 số hạng tiếp theo.

Lời giải chi tiết:

a) \(\left( {{u_n}} \right)\): Số sau gấp 3 lần số trước.

\(\left( {{v_n}} \right)\): Số sau bằng số sau nhân với \( - \frac{1}{2}\).

b) Ba số hạng tiếp theo của dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là 729, 2187, 6561.

Ba số hạng tiếp theo của dãy \(\left( {{v_n}} \right)\) là \( - \frac{1}{{16}},\frac{1}{{32}}, - \frac{1}{{64}}\).

Luyện tập 1

Tìm số hạng thứ tư và số hạng thứ năm của cấp số nhân 16, 24,…

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức \({u_{n + 1}} = {u_n}.q\).   

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({u_1} = 16,{u_2} = 24 \Rightarrow q = \frac{{24}}{{16}} = \frac{3}{2}\)

\( \Rightarrow {u_3} = 24.\frac{3}{2} = 36;{u_4} = 36.\frac{3}{2} = 54;{u_5} = 81\).

Vậy số hạng thứ 4 là 54, số hạng thứ 5 là 81.

Hoạt động 2

Một quả bóng được ném xuống từ độ cao 3 m. Độ cao mà quả bóng nảy lên bằng \(\frac{3}{5}\) độ cao trước đó (Hình 2.8). Tính độ cao của lần nảy lên thứ nhất, thứ hai, thứ ba, thứ năm.

Phương pháp giải:

- Dựa vào đầu bài, xác định \({u_1},q\).

- Áp dụng công thức \({u_{n + 1}} = {u_n}.q\).

Lời giải chi tiết:

Độ cao mà quả bóng nảy lên bằng \(\frac{3}{5}\) độ cao trước đó nên ta lập được cấp số nhân với \(q = \frac{3}{5}\). Độ cao lần nảy thứ nhất là \(3.\frac{3}{5} = \frac{9}{5}\)\({u_1} = 3\) nên \({u_1} = \frac{9}{5}\).

\( \Rightarrow {u_2} = \frac{9}{5}.\frac{3}{5} = \frac{{27}}{{25}};{u_3} = \frac{{27}}{{25}}.\frac{3}{5} = \frac{{81}}{{125}};{u_4} = \frac{{81}}{{125}}.\frac{3}{5} = \frac{{243}}{{625}};{u_5} = \frac{{243}}{{625}}.\frac{3}{5} = \frac{{729}}{{3125}}\)

Vậy độ cao của lần thứ nhất là \(\frac{9}{5}\) m, lần thứ hai là \(\frac{{27}}{{25}}\) m, lần thứ ba là \(\frac{{81}}{{125}}\) m, lần thứ năm là \(\frac{{729}}{{3125}}\) m.

Luyện tập 2

Một nước có dân số 25 triệu người vào đầu năm 2001. Nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm ổn định là 0,5%, tính dân số của nước đó vào đầu năm 2040.

Phương pháp giải:

Dựa vào đầu bài, xác định \({u_1},q,n\).

Áp dụng công thức: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\left( {n \ge 2} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \({u_1}\) là dân số năm 2001, \({u_2}\) là dân số năm 2002.

\( \Rightarrow {u_1} = 25;{u_2} = 25 + 0,5\% .25 = 25,125\)

\( \Rightarrow q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{25,125}}{{25}} = 1,005\)

Tương tự như vậy với \({u_3},{u_4},...\) Ta sẽ lập được cấp số nhân với \({u_1} = 25,q = 1,005\).

Vậy dân số của nước đó vào năm 2040 là: \({u_{39}} = {u_1}.{q^{38}} = 25.1,{005^{38}} \approx 30\) (triệu người).

Hoạt động 3

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\). Đặt \({S_n}\) là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân, nghĩa là:

\({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}.\)

Tính \(q{S_n}\) và \(q{S_n} - {S_n}\).

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức \({u_{n + 1}} = {u_n}.q\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}q{S_n} = q\left( {{u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}} \right) = u{}_1.q + {u_2}.q + {u_3}.q + ... + {u_n}.q\\ = {u_2} + {u_3} + {u_4} + ... + {u_{n + 1}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}q{S_n} - {S_n} = \left( {{u_2} + {u_3} + {u_4} + ... + {u_{n + 1}}} \right) - \left( {{u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}} \right)\\ \Leftrightarrow q{S_n} - {S_n} = {u_{n + 1}} - {u_1}\end{array}\)

Luyện tập 3

Trong bài toán nêu ra ở đầu bài học, tính tổng số hạt thóc được đặt vào 10 ô đầu tiên của bàn cờ vua.

Phương pháp giải:

Từ đầu bài xác định \({u_1},q,n\). Áp dụng công thức tính tổng 10 số hạng của cấp số nhân:\({S_n} = \frac{{{u_1}.\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\).

Lời giải chi tiết:

Từ đầu bài ta có: \({u_1} = 1,q = 2\).

Vậy tổng số hạt thóc được đặt vào 10 ô đầu tiên của bàn cờ vua là \({S_{10}} = \frac{{1.\left( {1 - {2^{10}}} \right)}}{{1 - 2}} = 1023\) (hạt).

Vận dụng

Mỗi năm, một nhân viên văn phòng mua một đôi giày mới. Giá của một đôi giày người đó mua ở năm đầu tiên là 500 000 đồng. Những năm tiếp theo, giá một đôi giày cùng loại tăng 20% so với giá của năm trước đó. Tính tổng số tiền người đó đã mua giày trong 10 năm.

Phương pháp giải:

Từ đầu bài, xác định \({u_1},q,n\). Áp dụng công thức tính tổng n số hạng của cấp số nhân:\({S_n} = \frac{{{u_1}.\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi giá một đôi giày năm đầu tiên là \({u_1}\), giá một đôi giày năm thứ hai là \({u_2}\).

\( \Rightarrow {u_1} = 500000,{u_2} = 500000 + 20\% .500000 = 600000\)

\( \Rightarrow q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{600000}}{{500000}} = 1,2\)

Tương tự với \({u_3},{u_4},...\) Ta lập được cấp số nhân với \({u_1} = 500000,q = 1,2\).

Vậy tổng số tiền người đó đã mua giày trong 10 năm là \({S_{10}} = \frac{{500000.\left( {1 - 1,{2^{10}}} \right)}}{{1 - 1,2}} \approx 12979341\) (đồng).