Bài 3. Cộng, trừ các phân thức đại số - Toán 8 - Cùng khám phá

Lý thuyết Cộng, trừ các phân thức đại số SGK Toán 8 - Cùng khám phá

1. Quy đồng mẫu thức

- Quy đồng mẫu thức các phân thức là biến đổi chúng thành những phân thức mới có cùng mẫu thức và lần lượt bằng các phân thức ban đầu.

- Mẫu thức của những phân thức mới đó gọi là mẫu thức chung.

Lưu ý:

- Mẫu thức chung thường được chọn là một tích chia hết cho mẫu thức của mỗi phân thức ban đầu.

- Các bước tìm mẫu thức chung:

+ Phân tích mẫu thức của mỗi phân thức đã cho thành nhân tử

+ Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân tử được chọn như sau:

* Nhân tử bằng số của mẫu thức chung là tích các nhân tử bằng số của các mẫu dương ở Bước 1 (nếu các nhân tử bằng số của các mẫu thức là các số nguyên dương thì nhân tử bằng số của mẫu thức chung là BCNN của chúng);

* Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa có số mũ cao nhất.

- Các bước quy đồng mẫu thức các phân thức:

+ Tìm mẫu thức chung

+ Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức (là đa thức thỏa mãn tích của nó và mẫu thức bằng mẫu thức chung)

+ Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng

2. Cộng, trừ hai phân thức cùng mẫu thức

Quy tắc cộng hai phân thức có cùng mẫu thức

Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

Chú ý: Phép cộng phân thức có các tính chất giao hoán, kết hợp tương tự như đối với phân số.

Ví dụ:

3. Cộng hai phân thức khác mẫu thức

Muốn cộng hai phân thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Chú ý: Phép cộng các phân thức cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp:

, trong đó là các phân thức bất kì.

4. Trừ hai phân thức khác mẫu (Quy tắc trừ hai phân thức khác mẫu thức)

Muốn trừ phân thức cho phân thức , ta cộng với phân thức đối của

Ví dụ:

5. Quy tắc dấu ngoặc

- Khi bỏ dấu ngoặc mà có dấu “-“ đằng trước thì ta phải đổi dấu tất cả các phân thức trong dấu ngoặc

- Khi bỏ dấu ngoặc mà có dấu “+“ đằng trước thì ta giữ nguyên dấu tất cả các phân thức trong dấu ngoặc

Ví dụ:

Giải mục 1 trang 39, 40 SGK Toán 8 - Cùng khám phá

Hoạt động 1

Cho hai phân thức và .

a) Tìm đa thức thích hợp cho mỗi ô ?

b) Em có nhận xét gì về mẫu thức ở vế phải của hai đẳng thức trong câu a?

Phương pháp giải:

a) Ta nhân cả tử và mẫu của phân thức này với mẫu của phân thức kia.

b) Dựa vào bài làm ý a.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có

b) Mẫu thức ở vế phải của hai đẳng thức trong câu a đều bằng và chính là tích mẫu thức ở vế phải của hai đẳng thức.

Luyện tập 1

Tìm một mẫu thức chung của hai phân thức và .

Phương pháp giải:

Bước 1: Ta phân tích mẫu thức của mỗi phân thức thành nhân tử.

Bước 2: Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân tử được chọn như sau:

- Nhân tử bằng số của mẫu thức chung là tích của các nhân tử bằng số của các mẫu thức ở bước 1

- Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa với số mũ cao nhất.

Lời giải chi tiết:

Ta thấy và

Vậy mẫu thức chung của hai phân thức có thể là

Hoạt động 2

Muốn quy đồng hai phân thức và nêu trong luyện tập 1 thì cần nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với đa thức nào?

Phương pháp giải:

Ta tìm mẫu thức chung:

Bước 1: Ta phân tích mẫu thức của mỗi phân thức thành nhân tử.

Bước 2: Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân tử được chọn như sau:

- Nhân tử bằng số của mẫu thức chung là tích của các nhân tử bằng số của các mẫu thức ở bước 1

- Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa với số mũ cao nhất.

Lời giải chi tiết:

Ta có: ;

Vậy mẫu thức chung là:

Để quy đồng hai phân thức và ta cần nhân cả tử và mẫu của phân thức với và nhân cả tử và mẫu của phân thức với

Luyện tập 2

Quy đồng mẫu thức hai phân thức và .

Phương pháp giải:

Ta tìm mẫu thức chung

Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức;

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Lời giải chi tiết:

Hai phân thức có mẫu thức chung là

Ta có

Giải mục 2 trang 41 SGK Toán 8 - Cùng khám phá

Hoạt động 3

Biết rằng quy tắc cộng hai phân thức có cùng mẫu thức cũng tương tự quy tắc cộng hai phân số có cùng mẫu, hãy thực hiện phép tính sau:

Phương pháp giải:

Ta dùng quy tắc cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

Luyện tập 3

Thực hiện phép cộng .

Phương pháp giải:

Ta dùng quy tắc cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

Giải mục 3 trang 41, 42, 43 SGK Toán 8 - Cùng khám phá

Hoạt động 4

Cho hai phân thức và

a) Quy đồng mẫu thức hai phân thức đó

b) Cộng các phân thức có cùng mẫu thức tìm được ở câu a.

Phương pháp giải:

a) Ta tìm mẫu thức chung

Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức;

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

b) Dùng quy tắc cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: và

b) Có:

Luyện tập 4

Tính tổng của hai phân thức và

Phương pháp giải:

Ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Lời giải chi tiết:

Ta có và

Có:

Luyện tập 5

Thực hiện phép cộng:

Phương pháp giải:

Ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

Vận dụng 1

Một vận động viên thi đấu trong một chặng đua xe đạp dài 120 km. Nửa chặng đường đầu vận động viên đó đạp xe với vận tốc là . Nửa chặng đường sau, vận động viên đó đạp xe với vận tốc nhỏ hơn 4 km/h so với tốc độ nửa chặng đường đầu.

a) Viết hai phân thức theo lần lượt biểu diễn thời gian để vận động viên đó hoàn thành nửa chặng đua đầu và nửa chặng đua sau.

b) Tìm phân thức theo biểu diễn thời gian để vận động viên đó hoàn thành cả chặng đua.

c) Tính thời gian để vận động viên đó hoàn thành chặng đua nếu \(v = 40\left( {km/h}

Phương pháp giải:

a) Ta dùng công thức: Quãng đường = vận tốc. thời gian

Viết hai phân thức biểu diễn thời gian vận động viên đó hoàn thành nữa chặng đua đầu và nửa chặng đua sau.

b) Cộng hai phân thức tìm được ở ý a.

c) Thay vào biểu thức tìm được ở ý b.

Lời giải chi tiết:

a) Thời gian để vận động viên đó hoàn thành nửa chặng đua đầu là:

Thời gian để vận động viên đó hoàn thành nửa chặng đua sau là:

b) Thời gian để vận động viên đó hoàn thành cả chặng đua là:

c) Nếu thì thời gian để vận động viên đó hoàn thành chặng đua là:

Giải mục 4 trang 43, 44 SGK Toán 8 - Cùng khám phá

Hoạt động 5

Tính tổng hai phân thức và

Phương pháp giải:

Ta dùng quy tắc cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

Luyện tập 6

Tìm phân thức đối của mỗi phân thức sau:

Phương pháp giải:

Ta có: Phân thức đối của là

Lời giải chi tiết:

Ta có: Phân thức đối của ba phân thức lần lượt là:

Hoạt động 6

Cho hai phân thức và

a) Tìm phân thức đối của phân thức .

b) Cộng phân thức với phân thức tìm được ở câu a.

Phương pháp giải:

a) Ta có: Phân thức đối của là

b) Ta dùng quy tắc cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

Lời giải chi tiết:

a) Phân thức đối của là: .

b) Ta có

Luyện tập 7

Tìm hiệu của hai phân thức sau:

a) và

b) và

Phương pháp giải:

Ta dùng quy tắc trừ hai phân thức:

Muốn trừ phân thức cho phân thức ta cộng với phân thức đối của :

.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

b) Ta có:

Vận dụng 2

Theo kế hoạch, một phân xưởng may phải hoàn thành 1 860 sản phẩm trong ngày. Khi thực hiện, nhờ cải tiến các công đoạn sản xuât, phân xưởng không những đã hoàn thành kế hoạch sớm 1 ngày mà còn làm thêm được 90 sản phẩm.

a) Viết hai phân thức (theo ) lần lượt biểu diễn số sản phẩm phải hoàn thành theo kế hoach và số sản phẩm thực tế làm được trong một ngày.

b) Tìm phân thức biểu diễn số sản phẩm thực tế làm được nhiều hơn số sản phẩm phải hoàn thành theo kế hoạch trong một ngày.

c) Số sản phẩm thực tế làm được nhiều hơn số sản phẩm phải hoàn thành theo kế hoạch trong một ngày là bao nhiêu nếu xưởng may hoàn thành 1 860 sản phẩm trong 31 ngày?

Phương pháp giải:

a) Viết hai phân thức (theo ) lần lượt biểu diễn số sản phẩm phải hoàn thành theo kế hoach và số sản phẩm thực tế làm được trong một ngày.

b) Tính hiệu hai phân thức vừa tìm được ở câu a.

c) Thay vào phân thức vừa tìm được ở câu b.

Lời giải chi tiết:

a) Phân thức biểu diễn số sản phẩm phải hoàn thành theo kế hoạch trong một ngày là: sản phẩm.

Phân thức biểu diễn số sản phẩm phải hoàn thành thực tế trong một ngày là: sản phẩm.

b) Phân thức biểu diễn số sản phẩm thực tế làm được nhiều hơn số sản phẩm phải hoàn thành theo kế hoạch trong một ngày là: sản phẩm.

c) Nếu xưởng may hoàn thành 1 860 sản phẩm trong 31 ngày thì số sản phẩm thực tế làm được nhiều hơn số sản phẩm phải hoàn thành theo kế hoạch trong một ngày là: sản phẩm.

Giải mục 5 trang 45 SGK Toán 8 - Cùng khám phá

Hoạt động 7

So sánh hai biểu thức và

Phương pháp giải:

Ta dùng quy tắc dấu ngoặc kết hợp với cộng trừ hai phân thức.

Khi bỏ dấu ngoặc có dấu + đằng trước, ta giữ nguyên dấu của các phân thức trong ngoặc;

Khi bỏ dấu ngoặc có dấu - đằng trước, ta phải đổi dấu tất cả các phân thức trong dấu ngoặc: dấu - đổi thành + và dấu + đổi thành -

Lời giải chi tiết:

Ta có

Và

Vậy

Luyện tập 8

Tính nhanh:

Phương pháp giải:

Ta dùng quy tắc dấu ngoặc kết hợp với cộng trừ hai phân thức.

Khi bỏ dấu ngoặc có dấu + đằng trước, ta giữ nguyên dấu của các phân thức trong ngoặc;

Khi bỏ dấu ngoặc có dấu - đằng trước, ta phải đổi dấu tất cả các phân thức trong dấu ngoặc: dấu - đổi thành + và dấu + đổi thành -

Lời giải chi tiết:

Ta có

Và

Vậy

Giải bài 2.11 trang 45 SGK Toán 8 - Cùng khám phá

Đề bài

Phân tích các mẫu thức thành nhân tử và tìm mẫu thức chung:

a) và

b) và

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Ta phân tích mẫu thức của mỗi phân thức thành nhân tử.

Bước 2: Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân tử được chọn như sau:

- Nhân tử bằng số của mẫu thức chung là tích của các nhân tử bằng số của các mẫu thức ở bước 1

- Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa với số mũ cao nhất.

Lời giải chi tiết

a) Ta có và

Vậy mẫu thức chung của hai phân thức trên là:

b) Ta có và

Vậy mẫu thức chung của hai phân thức trên là:

Giải bài 2.12 trang 45 SGK Toán 8 - Cùng khám phá

Đề bài

Quy đồng mẫu thức các phân thức:

a) và

b) và

c) và

d) và .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta tìm mẫu thức chung

Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức;

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

; .

b) ;

c) và

d) và .

Giải bài 2.13 trang 46 SGK Toán 8 - Cùng khám phá

Đề bài

Thực hiện các phép tính sau:

a)

b)

c)

d)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta dùng quy tắc cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

Lời giải chi tiết

a)

b)

c)

d)

Giải bài 2.14 trang 46 SGK Toán 8 - Cùng khám phá

Đề bài

Thực hiện các phép tính sau:

a)

b)

c)

d).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Lời giải chi tiết

a)

b)

c)

d)

Giải bài 2.15 trang 46 SGK Toán 8 - Cùng khám phá

Đề bài

Thực hiện các phép tính sau:

a) \(\frac{1}{{2x - 3}} - \frac{2}{{3 - 2x}} + \frac{{18}}{{9 - 4{x^2}}}\)

b) \(\frac{2}{{{a^2} - 1}} - \frac{1}{{a + 1}} - \frac{1}{{a - 1}}\)

c) \(\frac{{a + b}}{{a - b}} + \frac{{{a^2} - 4{b^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} - \frac{{a - 3b}}{{a + b}}\)

d) \(\frac{x}{{{x^2} + xy}} - \frac{y}{{{x^2} - {y^2}}} + \frac{{x + y}}{{xy - {y^2}}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta quy đồng mẫu thức rồi áp dụng quy tắc cộng, trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Lời giải chi tiết

a)

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{2x - 3}} - \frac{2}{{3 - 2x}} + \frac{{18}}{{9 - 4{x^2}}} = \frac{{ - \left( {3 + 2x} \right) - 2\left( {3 + 2x} \right) + 18}}{{9 - 4{x^2}}} = \frac{{ - 3 - 2x - 6 - 4x + 18}}{{9 - 4{x^2}}}\\ = \frac{{9 - 6x}}{{9 - 4{x^2}}} = \frac{{3\left( {3 - 2x} \right)}}{{\left( {3 - 2x} \right)\left( {3 + 2x} \right)}} = \frac{3}{{3 + 2x}}\end{array}\)

b)

\(\frac{2}{{{a^2} - 1}} - \frac{1}{{a + 1}} - \frac{1}{{a - 1}} = \frac{{2 - \left( {a - 1} \right) - \left( {a + 1} \right)}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}} = \frac{{2 - a + 1 - a - 1}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}} = \frac{{2\left( {1 - a} \right)}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}} = \frac{{ - 2}}{{a + 1}}\)

c)

\(\begin{array}{l}\frac{{a + b}}{{a - b}} + \frac{{{a^2} - 4{b^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} - \frac{{a - 3b}}{{a + b}} = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} + \frac{{{a^2} - 4{b^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} - \frac{{{a^2} - 4ab + 3{b^2}}}{{{a^2} - {b^2}}}\\ = \frac{{{a^2} + 6ab - 6{b^2}}}{{{a^2} - {b^2}}}\end{array}\)

d)

\(\begin{array}{l}\frac{x}{{{x^2} + xy}} - \frac{y}{{{x^2} - {y^2}}} + \frac{{x + y}}{{xy - {y^2}}} = \frac{x}{{x\left( {x + y} \right)}} - \frac{y}{{\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}} + \frac{{x + y}}{{y\left( {x - y} \right)}}\\ = \frac{{xy\left( {x - y} \right)}}{{xy\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}} - \frac{{x{y^2}}}{{xy\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}} + \frac{{x{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{xy\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}}\\ = \frac{{{x^2}y - x{y^2} - x{y^2} + {x^3} + 2{x^2}y + x{y^2}}}{{xy\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}}\\ = \frac{{{x^3} + {x^2}y - x{y^2}}}{{xy\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}} = \frac{{{x^2} + xy - {y^2}}}{{y\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}}\end{array}\)

Giải bài 2.16 trang 46 SGK Toán 8 - Cùng khám phá

Đề bài

Tính nhanh

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta dùng quy tắc dấu ngoặc để bỏ ngoặc kết hợp với cộng trừ hai phân thức.

Khi bỏ dấu ngoặc có dấu + đằng trước, ta giữ nguyên dấu của các phân thức trong ngoặc;

Khi bỏ dấu ngoặc có dấu - đằng trước, ta phải đổi dấu tất cả các phân thức trong dấu ngoặc: dấu + đổi thành - và dấu - đổi thành +

Lời giải chi tiết

Ta có

Giải bài 2.17 trang 46 SGK Toán 8 - Cùng khám phá

Đề bài

Một đội máy xúc trên công trường nhận nhiệm vụ xúc \(17\,400\,{m^3}\) đất. Giai đoạn đầu, đội làm việc với năng suất trung bình \(x\,{m^3}\)/ngày và đào được \(7\,500\,{m^3}.\) Giai đoạn sau, năng suất của đội tăng \(25\,{m^3}\)/ngày.

a) Viết phân thức theo \(x\) biểu diễn thời gian để đội đó hoàn thành công việc.

b) Tính thời gian để đội đó hoàn thành công việc khi năng suất trung bình là \(250\,{m^3}\)/ngày.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Ta viết phân thức biểu diễn thời gian của đội ở hai giai đoạn rồi tính tổng hai phân thức vừa tìm được.

b) Thay \(x = 250\) vào phân thức vừa tìm được ở câu a.

Lời giải chi tiết

a) Phân thức biểu diễn thời gian đội đó hoàn thành công việc là:

\(\frac{{7500}}{x} + \frac{{17400 - 7500}}{{x + 25}} = \frac{{7500}}{x} + \frac{{9900}}{{x + 25}}.\)

b) Thay \(x = 250\) ta được:

\(\frac{{7500}}{{250}} + \frac{{9900}}{{250 + 25}} = 66.\)

Vậy thời gian để đội đó hoàn thành công việc khi năng suất trung bình là \(250\,{m^3}\)/ngày là 66 ngày.

Giải bài 2.18 trang 46 SGK Toán 8 - Cùng khám phá

Đề bài

Hãy trả lời các câu hỏi nêu trong phần khởi động:

Một xe ô tô đi từ thị trấn A đến thị trấn B (A và B cách nhau ) với tốc độ trung bình là . Một xe máy cũng đi từ A đến B với tốc độ trung bình chậm hơn so với tốc độ trung bình của ô tô. Hỏi tổng thời gian cả hai xe đi từ A đến B là bao nhiêu? Thời gian xe ô tô đi từ A đến B nhanh hơn thời gian xe máy đi từ A đến B là bao nhiêu?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta viết phân thức biểu diễn thời gian đi từ A đến B của từng xe,

Tổng hai phân thức trên là tổng thời gian cả hai xe đi từ A đến B.

Hiệu phân thức biểu diễn thời gian của xe ô tô và phân thức biểu diễn thời gian của xe máy là thời gian xe ô tô đi từ A đến B nhanh hơn thời gian xe máy đi từ A đến B.

Lời giải chi tiết

Tổng thời gian cả hai xe đi từ A đến B là:

(giờ)

Thời gian xe ô tô đi từ A đến B nhanh hơn thời gian xe máy đi từ A đến B là:

(giờ)

Bài 3. Cộng, trừ các phân thức đại số - Toán 8

Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP8

Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub

Tải ứng dụng Tri Thức Hub