Bài 3. Đạo hàm cấp hai Toán 11 Cùng khám phá

Hoạt động 1

Xét hàm số \(y = 3{x^4} - 2{x^2} + x\)

a) Tính \(y'\)                   

b) Tính đạo hàm của \(y'\)

Phương pháp giải:

a) Áp dụng công thức \({\left( {{x^n}} \right)^,} = n.{x^{n - 1}}\)

b) Áp dụng công thức \({\left( {{x^n}} \right)^,} = n.{x^{n - 1}}\),  \({C^'} = 0\)

Lời giải chi tiết:

a) \(y' = \left( {3{x^4} - 2{x^2} + x} \right) = 3.4{x^3} - 2.2x + 1 = 12{x^3} - 4x + 1\)

b) Đạo hàm của \(y'\) là \(\left( {12{x^3} - 4x + 1} \right)' = 12.3{x^2} - 4.1 + 0 = 36{x^2} - 4\)

Luyện tập 1

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) \(y = 1 - 3\cos 3x\)           

b) \(y = {e^{3{x^2} + x}}\)

Phương pháp giải:

+) Tính \(y'\)

+) Sau đó tính đạo hàm của \(y'\) ta thu được \(y''\)

+) Áp dụng công thức \(\left( {\cos u} \right)' =  - u'.\sin u;\,\,\,\left( {\sin u} \right)' = u'.\cos u\); \(\left( {{e^u}} \right)' = u'.{e^u}\)

+) \(\left( {u.v} \right)' = u'.v + v'.u\)

Lời giải chi tiết:

a) \(y' = \left( {1 - 3\cos 3x} \right)' = 3.\sin 3x.\left( {3x} \right)' = 9\sin 3x\)

\(y'' = \left( {9\sin 3x} \right)' = 9.\cos 3x.\left( {3x} \right)' = 27\cos 3x\)

b) \(y' = \left( {{e^{3{x^2} + x}}} \right)' = \left( {3{x^2} + x} \right)'.{e^{3{x^2} + x}} = \left( {6x + 1} \right).{e^{3{x^2} + x}}\)

\(y'' = \left( {6x + 1} \right)'.{e^{3{x^2} + x}} + \left( {6x + 1} \right).\left( {{e^{3{x^2} + x}}} \right)' = 6.{e^{3{x^2} + x}} + {\left( {6x + 1} \right)^2}.{e^{3{x^2} + x}}\)

\( = \left( {36{x^2} + 12x + 7} \right).{e^{3{x^2} + x}}\)

Hoạt động 2

Một vật chuyển động thẳng với phương trình \(s\left( t \right) = {t^3} + t\), với \(s\) tính bằng mét và \(t\) tính bằng giây

a) Tính vận tốc của vật tại thời điểm \(t\).

b) Cho biết gia tốc trung bình (đơn vị \(m/{s^2}\)) của vật trong khoảng thời gian \(\left[ {{t_0};t} \right]\) được tính bởi công thức \({a_{tb}} = \frac{{v\left( t \right) - v\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}}\). Hãy tính gia tốc trung bình trong các khoảng thời gian \(\left[ {{t_0};t} \right]\) với \({t_0} = 2\) và \(t\) lần lượt là \(2,1\); \(2,01\); \(2,001\). Sau đó, hoàn thành Bảng 7.3.

Phương pháp giải:

a) \(v\left( t \right) = s'\left( t \right)\); công thức tính đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n.{x^{n - 1}}\)

b) Tính \({a_{tb}} = \frac{{v\left( t \right) - v\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}}\). Sau đó thay \(t\) và \({t_0}\) vào \({a_{tb}}\)

Lời giải chi tiết:

a) Vận tốc của vật tại thời điểm \(t\) là \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = \left( {{t^3} + t} \right)' = 3{t^2} + 1\)

b) \(v\left( t \right) - v\left( {{t_0}} \right) = \left( {3{t^2} + 1} \right) - \left( {3t_0^2 + 1} \right) = 3\left( {t - {t_0}} \right)\left( {t + {t_0}} \right)\)

Suy ra \({a_{tb}} = \frac{{v\left( t \right) - v\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}} = 3\left( {t + {t_0}} \right)\) tại \({t_0} = 2\) là \({a_{tb}} = 3\left( {t + 2} \right)\)

+) Với \(t = 2,1\) ta có \({a_{tb}} = 3.\left( {2,1 + 2} \right) = 12,3\)

+) Với \(t = 2,01\) ta có \({a_{tb}} = 3.\left( {2,01 + 2} \right) = 12,03\)

+) Với \(t = 2,001\) ta có \({a_{tb}} = 3.\left( {2,001 + 2} \right) = 12,003\)

Vậy ta có bảng sau

Luyện tập 2

Phương trình chuyển động của một con lắc lò xo dao động quanh vị trí cân bằng \(O\) là \(x = 4\cos 2t\), trong đó \(t\) tính bằng giây và \(x\) tính bằng \(cm\). Tính gia tốc của con lắc tại thời điểm \(t\).

Phương pháp giải:

+) \(a\left( t \right) = x''\left( t \right)\)

+) \(\left( {\cos u} \right) =  - u'.\sin u;\,\,\,\left( {\sin u} \right) = u'.\cos u\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(x' = \left( {4\cos 2t} \right)' =  - 4.\sin 2t.\left( {2t} \right)' =  - 8\sin 2t\)

\(a\left( t \right) = x'' =  - 8.\cos 2t.\left( {2t} \right)' =  - 16\cos 2t\)