Bài 3. Đạo hàm của các hàm số lượng giác

LG a

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\tan 2x} \over {\sin 5x}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1\)

Lời giải chi tiết:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\tan 2x} \over {\sin 5x}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin 2x} \over {\cos 2x.\sin 5x}} \)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{{\sin 2x}}{{2x}}.\frac{{2x}}{{\cos 2x\sin 5x}}} \right]  \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{1}{{\cos 2x}}.\frac{{\sin 2x}}{{2x}}.\frac{{\frac{{2x}}{{5x}}}}{{\frac{{\sin 5x}}{{5x}}}}} \right]  \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{2}{{5\cos 2x}}.\frac{{\sin 2x}}{{2x}}.\frac{1}{{\frac{{\sin 5x}}{{5x}}}}} \right] \) \( = \frac{2}{{5\cos 0}}.1.1 = \frac{2}{5}\)

LG b

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{1 - {{\cos }^2}x} \over {x\sin 2x}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{1 - {{\cos }^2}x} \over {x\sin 2x}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{{\sin }^2}x} \over {2x\sin x\cos x}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin x} \over {2x\cos x}} \)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{1}{{2\cos x}}.\frac{{\sin x}}{x}} \right] = \frac{1}{{2\cos 0}}.1 = \frac{1}{2}\)

LG c

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{1 + \sin x - \cos x} \over {1 - \sin x - \cos x}}\)

Phương pháp giải:

Phân tích tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn khử dạng vô định.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{1 + \sin x - \cos x} \over {1 - \sin x - \cos x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {1 - \cos x} \right) + \sin x}}{{\left( {1 - \cos x} \right) - \sin x}}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{2\sin^2 {x \over 2} + 2\sin {x \over 2}\cos {x \over 2}} \over {2{{\sin }^2}{x \over 2} - 2\sin {x \over 2}\cos {x \over 2}}}  \cr  &   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\sin \frac{x}{2}\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)}}{{2\sin \frac{x}{2}\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)}}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin {x \over 2} + \cos {x \over 2}} \over {\sin {x \over 2} - \cos {x \over 2}}} \cr & = \frac{{\sin 0 + \cos 0}}{{\sin 0 - \cos 0}} = \frac{1}{{ - 1}} =  - 1 \cr} \)

trithuchub.com

LG a

\(y = 5\sin x - 3\cos x\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức (sinx)'=cosx và (cosx)'=-sinx.

Lời giải chi tiết:

\(y' = 5\cos x + 3\sin x\)

LG b

 \(y = \sin \left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức (sinu)'=u'cosu

Lời giải chi tiết:

\(y'=\left[ {\sin \left( {{x^2} - 3x + 2} \right)} \right]' \) \(= \left( {{x^2} - 3x + 2} \right)'\cos \left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\) \(= \left( {2x - 3} \right)\cos \left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\)

LG c

 \(y = \cos \sqrt {2x + 1} \)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức (cosu)'=-u'sinu

Lời giải chi tiết:

\(y'  =  - \left( {\sqrt {2x + 1} } \right)'\sin \sqrt {2x + 1}\) \(  =  - \frac{{\left( {2x + 1} \right)'}}{{2\sqrt {2x + 1} }}\sin \sqrt {2x + 1} \) \(= -{2 \over {2\sqrt {2x + 1} }}\left( {  \sin \sqrt {2x + 1} } \right)\) \( = {{ - \sin \sqrt {2x + 1} } \over {\sqrt {2x + 1} }}\)

LG d

\(y = 2\sin 3x\cos 5x\)

Phương pháp giải:

Biến đổi tích thành tổng và tính đạo hàm.

Lời giải chi tiết:

\(y  = 2.\frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {3x + 5x} \right) + \sin \left( {3x - 5x} \right)} \right] \) \(= \sin 8x + \sin \left( { - 2x} \right)\) \(= \sin 8x - \sin 2x \) \(\Rightarrow y' = \left( {8x} \right)'\cos 8x - \left( {2x} \right)'\cos 2x\) \(= 8\cos 8x - 2\cos 2x\)

LG e

\(y = {{\sin x + \cos x} \over {\sin x - \cos x}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm của một thương \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

Lời giải chi tiết:

LG f

\(y = \sqrt {\cos 2x} \)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\left( {\sqrt u } \right)' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\)

Lời giải chi tiết:

\(y' = \frac{{\left( {\cos 2x} \right)'}}{{2\sqrt {\cos 2x} }} = \frac{{\left( {2x} \right)'.\left( { - \sin 2x} \right)}}{{2\sqrt {\cos 2x} }}\) \(= {{ - 2\sin 2x} \over {2\sqrt {\cos 2x} }} = {-{\sin 2x} \over {\sqrt {\cos 2x} }}\)

trithuchub.com

LG a

\(y = \tan {{x + 1} \over 2}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm hợp và các công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp.

Lời giải chi tiết:

\(y' = \left( {\dfrac{{x + 1}}{2}} \right)'.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{{x + 1}}{2}}}\) \(\displaystyle = {1 \over {2{{\cos }^2}{{x + 1} \over 2}}}\)

LG b

 \(y = \cot \sqrt {{x^2} + 1} \)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm hợp và các công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp.

Lời giải chi tiết:

\(y' = \left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)'.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}\)\( = \left( {{x^2} + 1} \right)'.\dfrac{1}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}\) \( = \dfrac{{ - 2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}.\dfrac{1}{{{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}\)

\(\displaystyle = {{ - x} \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}.{1 \over {{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}\)

LG c

\(y = {\tan ^3}x + \cot 2x\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm hợp và các công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp.

Lời giải chi tiết:

 \(y' = 3{\tan ^2}x\left( {\tan x} \right)' + \left( {2x} \right)'.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}2x}}\) \( = 3{\tan ^2}x.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \dfrac{2}{{{{\sin }^2}2x}}\) \(\displaystyle = {{3{{\tan }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} - {2 \over {{{\sin }^2}2x}}\)

LG d

\(y = \tan 3x - \cot 3x\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm hợp và các công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp.

Lời giải chi tiết:

\(y' = \left( {3x} \right)'.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}3x}} - \left( {3x} \right)'.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}3x}}\) \(\displaystyle = {3 \over {{{\cos }^2}3x}} + {3 \over {{{\sin }^2}3x}} = {{12} \over {{{\sin }^2}6x}}\)

LG e

\(y = \sqrt {1 + 2\tan x} \)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm hợp và các công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp.

Lời giải chi tiết:

\(y' = \left( {1 + 2\tan x} \right)'.\dfrac{1}{{2\sqrt {1 + 2\tan x} }}\) \( = 2\left( {\tan x} \right)'.\dfrac{1}{{2\sqrt {1 + 2\tan x} }}\) \( = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}.\dfrac{1}{{\sqrt {1 + 2\tan x} }}\) \(\displaystyle  = {1 \over {{\sqrt {1 + 2\tan x}.{\cos }^2}x }}\)

LG f

\(y = x\cot x\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm hợp và các công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp.

Lời giải chi tiết:

\(y' = x'\cot x + x.\left( {\cot x} \right)'\) \( = \cot x + x.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\) \(\displaystyle = \cot x - {x \over {{{\sin }^2}x}}\)

trithuchub.com

LG a

Hàm số y = tanx thỏa mãn hệ thức \(y' - {y^2} - 1 = 0\)

Phương pháp giải:

Tính y' rồi thay vào tính vế trái của các đẳng thức, kiểm tra bằng vế phải và kết luận.

Lời giải chi tiết:

\(y' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x\)

Do đó \(y' - {y^2} - 1 \) \(= \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) - {\tan ^2}x - 1 = 0\)

LG b

Hàm số y = cot2x thỏa mãn hệ thức \(y' + 2{y^2} + 2 = 0\)

Lời giải chi tiết:

\(y' = \left( {2x} \right)'.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}2x}} \) \(=  - 2.\dfrac{1}{{{{\sin }^2}2x}} =  - 2\left( {1 + {{\cot }^2}2x} \right)\).

Do đó \(y' + 2{y^2} + 2 \) \(=  - 2\left( {1 + {{\cot }^2}2x} \right) + 2{\cot ^2}2x + 2 = 0\)

trithuchub.com

LG a

y = sin2x - 2cosx

Lời giải chi tiết:

Với mọi \(x \in\mathbb R\), ta có:

\(y' = 2\cos 2x + 2\sin x\) \( = 2\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + 2\sin x\)

\(=-4{{\sin }^2}x+2\sin x+2\)

Vậy \(y' = 0 \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - \sin x - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {\sin x = 1}  \cr   {\sin x = -{1 \over 2}}  \cr  } } \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {x = {\pi  \over 2} + k2\pi }  \cr   {x =  - {\pi  \over 6} + k2\pi }  \cr   {x = {{7\pi } \over 6} + k2\pi }  \cr  }\left( {k \in \mathbb Z} \right) } \right.\)

LG b

 y = 3sin2x + 4cos2x + 10x

Lời giải chi tiết:

Với mọi \(x \in\mathbb R\), ta có: \(y' = 6\cos 2x - 8\sin 2x + 10\)

Vậy \(y' = 0\) \( \Leftrightarrow 6\cos 2x - 8\sin 2x + 10 = 0 \) \(\Leftrightarrow 3\cos 2x - 4\sin 2x + 5 = 0\) \( \Leftrightarrow 4\sin 2x - 3\cos 2x = 5\)

\( \Leftrightarrow {4 \over 5}\sin 2x - {3 \over 5}\cos 2x = 1\,\,\left( 1 \right)\)

Vì \({\left( {{4 \over 5}} \right)^2} + {\left( {{3 \over 5}} \right)^2} = 1\) nên có số \(α\) sao cho \(\cos \alpha  = {4 \over 5}\,\text{ và }\,\sin \alpha  = {3 \over 5}\)

Thay vào (1), ta được :

\(\eqalign{  & \sin 2x\cos \alpha  - \sin\alpha \cos 2x = 1  \cr  &  \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \alpha } \right) = 1  \cr  &  \Leftrightarrow 2x - \alpha  = {\pi  \over 2} + k2\pi   \cr  &  \Leftrightarrow x = {1 \over 2}\left( {\alpha  + {\pi  \over 2} + k2\pi } \right)\,\,\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr} \)

LG c

 \(y = {\cos ^2}x + \sin x\)

Lời giải chi tiết:

Với mọi \(x \in\mathbb R\), ta có: \(y' =  - 2\cos x{\mathop{\rm sinx}\nolimits}  + cosx \) \(= cosx\left( {1 - 2\sin x} \right)\)

\(\eqalign{  & y' = 0 \Leftrightarrow \cos x\left( {1 - 2\sin x} \right) = 0\cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   { \cos x = 0 }  \cr   {1 - 2\sin x = 0 }  \cr  } } \right.   \cr  & \Leftrightarrow  \left[ {\matrix{   {x = {\pi  \over 2} + k\pi}  \cr   {{\mathop{\rm sinx}\nolimits}  = {1 \over 2} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {x = {\pi  \over 6} + k2\pi }  \cr   {x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi }  \cr  } } \right. }  \cr  } } \right.  \cr} \)

Vậy \(x = {\pi  \over 2} + k\pi ;x = {\pi  \over 6} + k2\pi ;\) \(x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi \left( {k \in\mathbb Z} \right)\)

LG d

\(y = \tan x + \cot x\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & y' = {1 \over {{{\cos }^2}x}} - {1 \over {{{\sin }^2}x}}\,\forall\,x \ne k{\pi  \over 2}  \cr  & y' = 0 \Leftrightarrow {1 \over {{{\cos }^2}x}} = {1 \over {{{\sin }^2}x}} \cr & \Leftrightarrow {\sin ^2}x = {\cos ^2}x\cr &\Leftrightarrow {\tan ^2}x = 1  \cr  &  \Leftrightarrow \tan x =  \pm 1 \Leftrightarrow x =  \pm {\pi  \over 4} + k\pi \cr &k \in \mathbb Z \cr} \)

trithuchub.com

LG a

Tiếp tuyến của (C) tại điểm với hoành độ \(x = π\) có hệ số góc bằng 1.

Phương pháp giải:

Giải phương trình \(f'(\pi )=1\) tìm m.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(f\left( x \right) = {\cos ^2}x + m\sin x,\) ta có :

\(f'\left( x \right) = 2\cos x\left( { - \sin x} \right) + m\cos x\) \(=  - \sin 2x + m\cos x\)

Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ \(x = π\) là :

\(\eqalign{  & f'\left( \pi  \right) =  - \sin 2\pi  + m\cos \pi  =  - m  \cr  & \text{Vậy}\,f'\left( \pi  \right) = 1 \Leftrightarrow m =  - 1 \cr} \)

LG b

Hai tiếp tuyến của (C) tại các điểm có hoành độ \(x =  - {\pi  \over 4}\)  và \(x = {\pi  \over 3}\) song song hoặc trùng nhau.

Phương pháp giải:

Giải phương trình \(f'\left( { - {\pi  \over 4}} \right) = f'\left( {{\pi  \over 3}} \right)\) tìm m.

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài, ta có :

\(\eqalign{  & f'\left( { - {\pi  \over 4}} \right) = f'\left( {{\pi  \over 3}} \right)  \cr  &  \Leftrightarrow  - \sin \left( { - {\pi  \over 2}} \right) + m\cos \left( { - {\pi  \over 4}} \right) \cr &=  - \sin {{2\pi } \over 3} + m\cos {\pi  \over 3}  \cr  &  \Leftrightarrow 1 + m{{\sqrt 2 } \over 2} =  - {{\sqrt 3 } \over 2} + {m \over 2} \cr &\Leftrightarrow m = {{\sqrt 3  + 2} \over {1 - \sqrt 2 }} \cr} \)

trithuchub.com