Bài 3. Định lí Viète và ứng dụng - Toán 9 Cùng khám phá
Lý thuyết Định lí Viète và ứng dụng Toán 9 Cùng khám phá
1. Định lí Viète
Định lí Viète
|
Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a}.\end{array} \right.\) |
Ví dụ: Phương trình \(2{x^2} + 11x + 7 = 0\) có: \(\Delta = {11^2} - 4.2.7 = 65 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).
Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = - \frac{{11}}{2};{x_1}{x_2} = \frac{7}{2}\).
Giải phương trình bậc hai khi biết một nghiệm của nó
|
Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\). - Nếu \(a + b + c = 0\) thì phương trình có nghiệm là \({x_1} = 1\) và \({x_2} = \frac{c}{a}\). - Nếu \(a - b + c = 0\) thì phương trình có nghiệm là \({x_1} = - 1\) và \({x_2} = - \frac{c}{a}\). |
Ví dụ: Phương trình \({x^2} - 6x + 5 = 0\) có \(a + b + c = 1 + \left( { - 6} \right) + 5 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 1,{x_2} = 5\).
Phương trình \(5{x^2} + 14x + 9 = 0\) có \(a - b + c = 5 - 14 + 9 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = - 1,{x_2} = - \frac{9}{5}\).
2. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
|
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - Sx + P = 0\). Điều kiện để có hai số đó là \({S^2} - 4P \ge 0\). |
Ví dụ: Hai số có tổng bằng 9, tích bằng 20 là nghiệm của phương trình \({x^2} + 9x + 20 = 0\).
Ta có: \(\Delta = {\left( { - 9} \right)^2} - 4.1.20 = 1,\sqrt \Delta = 1\).
Suy ra phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{9 - 1}}{2} = 4;{x_2} = \frac{{9 + 1}}{2} = 5\).
Vậy hai số cần tìm là 4 và 5.
Giải mục 1 trang 16, 17 SGK Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá
HĐ1
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 16 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Xét phương trình . Giả sử phương trình có nghiệm x1, x2, so sánh S = x1 + x2 và , và .
Phương pháp giải:
Dựa vào: Cho phương trình và biệt thức .
Nếu > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Lời giải chi tiết:
Ta có S = x1 + x2 =
.
LT1
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 16 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Không giải phương trình, chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 và tính M = x1 + x2 - x1x2 .
Phương pháp giải:
Dựa vào: Nếu là hai nghiệm của phương trình thì:
Lời giải chi tiết:
Phương trình có a = 1; b = 3, c = -6.
nên phương trình có hai nghiệm phân biệt .
Theo định lí Viète, ta có .
Suy ra M = x1 + x2 - x1x2 = - 3 – 3 = - 6.
LT2
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 17 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Cho phương trình
a) Không giải phương trình, chứng minh phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .
b) Tính
Phương pháp giải:
Dựa vào: Nếu là hai nghiệm của phương trình thì:
Lời giải chi tiết:
a) Phương trình có a = 1; b = , c = 3.
nên phương trình có hai nghiệm phân biệt .
b) Theo định lí Viète, ta có .
Suy ra .
Ta có
Suy ra
HĐ2
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 17 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Cho phương trình
a) Xác định hệ số a, b, c rồi tính a + b + c.
b) Chứng minh là một nghiệm của phương trình.
c) Áp dụng định lí Viète để tìm nghiệm x2.
2. Cho phương trình
a) Xác định hệ số a, b, c rồi tính a - b + c.
b) Chứng minh là một nghiệm của phương trình.
c) Tìm nghiệm x2.
Phương pháp giải:
Xác định a, b, c sau đó thay x = 1 vào phương trình kiểm tra xem thỏa mãn không.
Dựa vào: Nếu là hai nghiệm của phương trình thì:
Lời giải chi tiết:
1a) Phương trình có a = 3, b = - 7, c = 4
Suy ra a + b + c = 3 – 7 + 4 = 0.
1b) Thay x = 1 vào phương trình ta được:
3. 12 – 7.1 + 4 = 0 (TM)
Vậy là một nghiệm của phương trình.
1c) Theo định lí Viète ta có .
Mà suy ra .
2a) Phương trình có a = 2, b = 5, c = 3
Suy ra a - b + c = 2 – 5 + 3 = 0.
2b) Thay x = -1 vào phương trình ta được:
2. (-1)2 + 5.(-1) + 3 = 0 (TM)
Vậy là một nghiệm của phương trình.
2c) Theo định lí Viète ta có .
Mà suy ra .
LT3
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 17 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a)
b)
c)
Phương pháp giải:
Dựa vào: Cho phương trình .
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm và .
- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm và .
Lời giải chi tiết:
a)
Phương trình có a = - 5, b = 2, c = 3.
Vì a + b + c = - 5 + 2 + 3 = 0 nên phương trình có nghiệm và .
b)
Phương trình có a = 4, b = 27, c = 23.
Vì a - b + c = 4 - 27 + 23 = 0 nên phương trình có nghiệm và .
c)
Phương trình có a = - 5, b = 2, c = 3.
Vì a + b + c = 6,8 – 4,7 – 2,1 = 0 nên phương trình có nghiệm và .
Giải mục 2 trang 18 SGK Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá
HĐ3
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 18 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Hiện nay, tổng số tuổi của hai em Trọng và Nhân là 13. Gọi x là số tuổi hiện nay của Nhân (x là số nguyên dương).
a) Hãy biểu diễn số tuổi của Trọng và tích số tuổi của hai em hiện nay theo x.
b) Biết tích số tuổi hai em hiện nay là 40, hãy lập phương trình biểu thị thông tin này.
Phương pháp giải:
Đọc kĩ dữ kiện đề bài lập phương trình ẩn x.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có x là số tuổi hiện nay của Nhân ( x> 0)
Suy ra số tuổi hiện nay của Trọng là 13 – x (tuổi)
Tích số tuổi của hai em là: x(13 – x) =
b) Tích số tuổi hai em hiện nay là 40 nên ta có .
LT4
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 18 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Tìm hai số, biết tổng và tích của chúng lần lượt bằng:
a) 2 và – 15
b) 3 và 5
Phương pháp giải:
Dựa vào: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình . Điều kiện để có hai số đó là .
Lời giải chi tiết:
a) Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình .
Ta có
.
Vậy hai số cần tìm là 5 và – 3.
b) Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình .
Ta có
Phương trình vô nghiệm.
Vậy không có hai số nào thoả mãn tổng và tích lần lượt là 3 và 5.
VD
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 18 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Hãy trả lời câu hỏi phần khởi động:
Trong mảnh đất của mình, bác Thiện muốn dành một phần đất hình chữ nhật có diện tích 24 m2 để trồng hoa. Bác Thiện đang có 20 m lưới để rào xung quanh phần đất trồng hoa đó. Vậy bác Thiện nên chọn kích thước phần đất trồng hoa như thế nào để dùng vừa hết 20 m lưới?
Phương pháp giải:
Tính nửa chu vi rồi gọi ẩn cho hai độ dài cạnh hình chữ nhật
Lập biểu thức theo ẩn x và giải phương trình và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Nửa chu vi hình chữ nhật là 20 : 2 = 10 m
Gọi x (m) (x > 0) là một chiều hình chữ nhật nên chiều còn lại hình chữ nhật là
10 – x (m).
Khi đó diện tích hình chữ nhật là:
Ta có .
Suy ra phương trình có nghiệm và .
Vậy bác Thiện nên chọn kích thước phần đất trồng hoa một chiều là 4 m và một chiều là 6 m để dùng vừa hết 20 m lưới.
Giải bài tập 6.14 trang 18 SGK Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Với mỗi phương trình ở Bảng 6.6:
a) Tìm các số thích hợp cho mỗi ô ? ở cột .
b) Nếu phương trình có nghiệm , không giải phương trình, hãy tìm các số thích hợp cho mỗi ô ? ở cột S và P.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào: Nếu là hai nghiệm của phương trình thì:
Lời giải chi tiết
Giải bài tập 6.15 trang 19 SGK Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Cho phương trình .
a) Không giải phương trình, chứng minh phương trình có hai nghiệm .
b) Tính
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Kiểm tra phương trình có nghiệm bằng cách tính denta.
Dựa vào: Nếu là hai nghiệm của phương trình thì:
Lời giải chi tiết
a) Phương trình có a = 3; b = -10; c = 3
Ta có :
Vậy phương trình có 2 nghiệm .
b) Ta có:
Ta có:
Suy ra .
Giải bài tập 6.16 trang 19 SGK Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a)
b)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào: Cho phương trình .
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm và .
- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm và .
Lời giải chi tiết
a)
Phương trình có a + b + c = 13,6 – 15,8 + 2,2 = 0 nên phương trình có nghiệm và .
b)
Phương trình có a - b + c = = 0 nên phương trình có nghiệm và .
Giải bài tập 6.17 trang 19 SGK Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a) u + v = 35, uv = 276
b) y + v = -13, uv = -68
c) u + v = 3, uv = 11.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - Sx + P = 0\). Điều kiện để có hai số đó là \({S^2} - 4P \ge 0\).
Lời giải chi tiết
a) Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 35x + 276 = 0\).
Ta có \(\Delta = {( - 35)^2} - 4.1.276 = 121,\sqrt \Delta = 11.\)
\({x_1} = \frac{{35 + 11}}{2} = 23,{x_2} = \frac{{35 - 11}}{2} = 12\).
Vậy hai số cần tìm là 23 và 12.
b) Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình \({x^2} + 13x - 68 = 0\).
Ta có \(\Delta = {13^2} - 4.1.( - 68) = 441,\sqrt \Delta = 21.\)
\({x_1} = \frac{{ - 13 + 21}}{2} = 4,{x_2} = \frac{{ - 13 - 21}}{2} = - 17\).
Vậy hai số cần tìm là 4 và -17.
Giải bài tập 6.18 trang 19 SGK Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Một tam giác vuông có diện tích bằng 24 cm2 và có tổng độ dài hai cạnh góc vuông bằng 14. Tính chu vi tam giác vuông đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gọi độ dài cạnh góc vuông là x sau đó lập biểu thức các đại lượng ra phương trình bậc hai. Giải phương trình và tính chu vi tam giác.
Lời giải chi tiết
Gọi một cạnh góc vuông có độ dài cạnh là x (cm) thì cạnh còn lại là 14 – x (cm)
Ta có diện tích bằng 24 cm2 ta có:
Ta có
Suy ra
Vậy ta có cạnh góc vuông có độ dài lần lượt là 6 và 8.
Xét tam giác vuông ta có độ dạnh cạnh huyền là:
cm
Vậy chu vi tam giác vuông là: 6 + 8 + 10 = 24 cm.
Giải bài tập 6.19 trang 19 SGK Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Một hình hộp chữ nhật có chiều cao là 5 dm, diện tích xung quang bằng 100 dm2 và thể tích bằng 120 dm3. Tính chiều dài và chiều rộng của hình hộp chữ nhật đã cho.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gọi độ dài cạnh góc vuông là x sau đó lập biểu thức các đại lượng ra phương trình bậc hai. Giải phương trình và tính chu vi tam giác.
Lời giải chi tiết
Chu vi một đáy là 100: 5 = 20 (dm)
Gọi một chiều của mặt đáy hình chữ nhật là x (dm) (x > 0).
Suy ra chiều còn lại là 20 : 2 – x = 10 – x
Ta có thể tích bằng 120 dm3 nên x.(10 – x).5 = 120
-5x2 + 50x – 120 = 0
Ta có
Suy ra .
Vậy ta có chiều dài và chiều rộng cần tìm có độ dài lần lượt là 4 dm và 6 dm.
Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP9
Học đi đôi với hành! Làm ngay các bộ đề trắc nghiệm chấm điểm tức thì, có đáp án chi tiết giúp ghi nhớ kiến thức sâu và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra.
Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub
Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!