Bài 3. Đường thẳng và mặt phẳng song song Toán 11 Cùng khám phá

Hoạt động 1

Hình 4.53 là kệ khung sắt, xem các thanh sắt xung quanh là hình ảnh của những đường thẳng và bề mặt tầng trên cùng của kệ (bằng gỗ) là một phần của mặt phẳng (P). Để trang trí kệ sách này, Nam tô màu đỏ những đường thẳng có điểm chung với (P), tô màu xanh những đường thẳng không có điểm chung với (P) để gửi cho thợ sơn. Hãy chỉ ra những thanh sắt nào cần tô màu đỏ, những thanh sắt nào cần tô màu xanh.

Phương pháp giải:

Quan sát hình ảnh.

Lời giải chi tiết:

Các thanh dọc cần tồ màu đỏ, các thanh ngang cần tô màu xanh.

Luyện tập 1

Trong phòng học, quan sát bàn học sinh, xem mặt bàn là một phần của mặt phẳng (P), nêu một số hình ảnh của đường thẳng song song với mặt phẳng (P).

Phương pháp giải:

Một đường thẳng và mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng (P) song song với các cạnh của ngăn bàn, thanh ngang ở chân bàn.

Hoạt động 2

Cho hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) song song với nhau và một mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) chứa \(d'\)nhưng không chứa \(d\). Gọi \(\left( \beta  \right)\) là mặt phẳng chứa \(d\) và \(d'\).

a) Xác định giao tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\).

b) \(d\) và \(\left( \alpha  \right)\) có điểm chung hay không? Vì sao ?

Phương pháp giải:

a) Đường thẳng cùng thuộc 2 mặt phẳng là giao tuyến của 2 mặt phẳng đó.

b) Chứng minh phản chứng (Giả sử không có điểm chung).

Lời giải chi tiết:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}d' \subset \left( \alpha  \right)\\d' \subset \left( \beta  \right)\end{array} \right. \Rightarrow d' = \left( \alpha  \right) \cap \left( \beta  \right)\)

Vậy \(d'\) là giao tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\).

b) Giả sử \(d\) và \(\left( \alpha  \right)\) có diểm chung là I

Mà \(I \in d \subset \left( \beta  \right)\)  \( \Rightarrow \)I là điểm chung của \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\)\( \Rightarrow \)I phải thuộc \(d'\)

\( \Rightarrow \)\(d\) và \(d'\) có điểm chung là I (Mâu thuẫn)

Vậy \(d\) và \(\left( \alpha  \right)\) không có diểm chung.

Luyện tập 2

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD. Các đường thẳng MN, NP, PM có song song với mặt phẳng (BCD) không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Nếu đường thẳng a không nằm trong (P) và a song song với đường thẳng b nằm trong (P) thì a song song với (P).

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC \( \Rightarrow \)MN // BC

Mà BC nằm trong (BCD) nên MN // (BCD).

Xét tam giác ABD có M, P lần lượt là trung điểm của AB, AD \( \Rightarrow \)MP // BD

Mà BD nằm trong (BCD) nên MP // (BCD).

Xét tam giác ADC có P, N lần lượt là trung điểm của AD, AC \( \Rightarrow \)PN // CD

Mà CD nằm trong (BCD) nên PN // (BCD).

Hoạt động 3

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\). Gọi \(\left( \beta  \right)\) là mặt phẳng chứa a và \(\left( \beta  \right)\) cắt \(\left( \alpha  \right)\) theo giao tuyến b. Hỏi b và a có thể có điểm chung hay không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Chứng minh phản chứng (Giả sử có điểm chung).

Lời giải chi tiết:

Giả sử a và b có điểm chung là I

b là giao tuyến của \(\left( \beta  \right)\) cắt \(\left( \alpha  \right)\) nên I cũng phải thuộc \(\left( \alpha  \right)\)

Suy ra a và \(\left( \alpha  \right)\) có điểm chung là I (Mâu thuẫn)

Vậy a không có điểm chung với b.

Luyện tập 3

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Lấy I là điểm thuộc cạnh BC (khác B và C). Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng qua I và song song với các đường thẳng AB và SD. Tìm giao điểm của các đường thẳng AD, SA, SB với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Phương pháp giải:

Xác định giao điểm của một mặt phẳng (P) song song với a, đi qua O và đường thẳng b:

+ Tìm một mặt phẳng (Q) chứa O (hoặc một điểm thuộc (P)), a, b.

+ Giao tuyến của (P) và (Q) là đường thẳng d đi qua O (hoặc một điểm thuộc (P)) và song song với a.

+ Tìm giao điểm của b và d. Đây chính là giao điểm cần tìm.

Lời giải chi tiết:

\(\left( \alpha  \right)\) đi qua I và song song với AB nên \(\left( \alpha  \right)\) cắt (ABCD) theo giao tuyến d đi qua I và song song với AB. Gọi E là giao điểm của d với AB. Vậy E là giao điểm của AD và \(\left( \alpha  \right)\).

\(\left( \alpha  \right)\) song song với SD nên \(\left( \alpha  \right)\) cắt (SAD) theo giao tuyến d’ đi qua E và song song với SD. Gọi F là giao điểm của d’ với SA. Vậy F là giao điểm của SA và \(\left( \alpha  \right)\).

\(\left( \alpha  \right)\) song song với AB nên \(\left( \alpha  \right)\) cắt (SAB) theo giao tuyến d’’ đi qua F và song song với AB. Gọi G là giao điểm của d’’ với SB. Vậy G là giao điểm của SB và \(\left( \alpha  \right)\).

Hoạt động 4

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Lấy điểm M bất kì thuộc a. Qua M kẻ đường thẳng b′ song song với b. Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng xác định bởi a và b′. Hãy nhận xét về vị trí tương đối của b và \(\left( \alpha  \right)\)?

Phương pháp giải:

Nếu đường thẳng a không nằm trong (P) và a song song với đường thẳng b nằm trong (P) thì a song song với (P).

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}b' \subset \left( \alpha  \right)\\b \not\subset \left( \alpha  \right)\\b//b'\end{array} \right. \Rightarrow b//\left( \alpha  \right)\)

Luyện tập 4

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, AD song song BC và AD = 2BC. Xác định mặt phẳng chứa SB và song song với CD.

Phương pháp giải:

Dựng một mặt phẳng chứa SB và chứa 1 đường thẳng song song với CD.

Lời giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm AD, ta có HD // BC và HD = \(\frac{1}{2}\)AD = BC nên HDCB là hình bình hành.

Suy ra HB // CD, mà (SBH) chứa SB nên CD // (SBH).

Vậy (SBH) là mặt phẳng chứa SB và song song với CD.

Vận dụng

Trong giờ ra chơi, khi thảo luận về hình học không gian, bạn An khẳng định rằng : “Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau”. Bạn Mai cho rằng đây là một khẳng định sai, Mai muốn tìm các hình ảnh về đường thẳng và mặt phẳng trong thực tế để minh hoạ cho ý kiến của mình. Dựa vào các đồ vật xung quanh phòng học, hãy giúp Mai chỉ ra một ví dụ để thấy khẳng định của An là sai.

Phương pháp giải:

Quan sát thực tế.

Lời giải chi tiết:

Mép tường trái/phải và mép tường trên/dưới của một bức tường luôn song song với một mặt phẳng là bức tường đối diện nhưng chúng không song song với nhau.