Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Giải bài 1.21 trang 19 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số . Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng không?

Lời giải chi tiết

Ta có .

Lại có liên tục với mọi . Do đó không tồn tại để hàm số có giới hạn tại đó là .

Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Giải bài 1.22 trang 19 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{x + 1}}{{2x - 3}}\);

b) \(y = \frac{{3x - 1}}{{x + 2}}\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x + 1}}{{2x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x + 1}}{{2x - 3}} = \frac{1}{2}\). Do đó \(y = \frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{2}}^ + }} \frac{{x + 1}}{{2x - 3}} =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{2}}^ - }} \frac{{x + 1}}{{2x - 3}} =  - \infty \). Do đó \(x = \frac{3}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

b) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{3x - 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{3x - 1}}{{x + 2}} = 3\). Do đó \(y = 3\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \frac{{3x - 1}}{{x + 2}} =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \frac{{3x - 1}}{{x + 2}} =  - \infty \). Do đó \(x =  - 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Giải bài 1.23 trang 19 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau:

a) ;

b) .

Lời giải chi tiết

a) Ta có . Khi đó ; .

Do đó đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có . Do đó đường thẳng là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

b) Ta có ; .

Do đó đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có . Do đó đường thẳng là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Giải bài 1.24 trang 19 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Hãy tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Lời giải chi tiết

Từ bảng biến thiên ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) =  + \infty \). Do đó đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng

\(x = 2\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = 3\) suy ra đường thẳng \(y = 3\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Giải bài 1.25 trang 19 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Tìm các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = g(x) = \frac{1}{{2 + f(x)}}\).

Lời giải chi tiết

Từ bảng biến thiên ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) =  - 1\).

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g\left( x \right) = \frac{1}{3}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } g\left( x \right) = 1\).

Vậy đồ thị hàm số \(g\left( x \right)\) có ha tiệm cận ngang là các đường thẳng \(y = 1\) và \(y = \frac{1}{3}\).

Giải bài 1.26 trang 20 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị (C).

Tính tích khoảng cách từ một điểm tùy ý thuộc (C) đến hai đường tiệm cận của nó.

Lời giải chi tiết

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 1}}{{x - 1}} =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x + 1}}{{x - 1}} =  - \infty \). Do đó đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số;\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 1\). Do đó đường thẳng \(y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Giả sử điểm \(M\left( {x;\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right) \in \left( C \right)\). Khi đó khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(x = 1\) là

\({d_1} = \left| {x - 1} \right|\), khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(y = 1\) là \({d_2} = \left| {\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - 1} \right| = \frac{2}{{\left| {x - 1} \right|}}\).

Ta có \({d_1} \cdot {d_2} = \left| {x - 1} \right| \cdot \frac{2}{{\left| {x - 1} \right|}} = 2\). Vậy tích khoảng cách cần tìm là \(2\).

Giải bài 1.27 trang 20 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Gọi \(I\) là giao điểm giữa tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 3}}{{x - 2}}\). Chọn điểm \(K\left( {3;5} \right)\), tính hệ số góc của đường thẳng đi qua \(I\) và \(K\).

Lời giải chi tiết

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{2x + 3}}{{x - 2}} =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{2x + 3}}{{x - 2}} =  - \infty \). Do đó đường thẳng \(x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số; \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x + 3}}{{x - 2}} = 2\). Do đó đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Suy ra giao điểm giữa tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là \(I\left( {2;2} \right)\).

Hệ số góc của đường thẳng đi qua \(I\left( {2;2} \right)\) và \(K\left( {3;5} \right)\) có hệ số góc là \(\frac{{5 - 2}}{{3 - 2}} = 3\).

Giải bài 1.28 trang 20 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ sau:

Hãy tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Lời giải chi tiết

Ta có ; . Do đó đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

. Do đó đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

. Do đó đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Giải bài 1.29 trang 20 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{x + 2}}{{x - 3}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi tổng khoảng cách từ một điểm \(\left( {x;y} \right) \in \left( C \right)\), với \(x > 3\) tới hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\) là \(g\left( x \right)\). Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{x + 2}}{{x - 3}} =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{x + 2}}{{x - 3}} =  - \infty \). Do đó đường thẳng \(x = 3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x + 2}}{{x - 3}} = 1\). Do đó đường thẳng \(y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Giả sử điểm \(M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right)\) suy ra \(M\left( {x;\frac{{x + 2}}{{x - 3}}} \right)\). Khi đó khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(x = 3\) là \({d_1} = \left| {x - 3} \right|\), khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(y = 1\) là \({d_2} = \left| {\frac{{x + 2}}{{x - 3}} - 1} \right| = \frac{5}{{\left| {x - 3} \right|}}\).

Ta có \(g\left( x \right) = {d_1} + {d_2} = \left| {x - 3} \right| + \frac{5}{{\left| {x - 3} \right|}} = x - 3 + \frac{5}{{x - 3}}\), vì \(x > 3\).

Ta sẽ tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = x - 3 + \frac{5}{{x - 3}}\).

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {x - 3 + \frac{5}{{x - 3}}} \right) =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {x - 3 + \frac{5}{{x - 3}}} \right) =  - \infty \). Do đó đường thẳng \(x = 3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số;  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\left( {x - 3 + \frac{5}{{x - 3}}} \right) - \left( {x - 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{5}{{x - 3}} = 0\), suy ra đường thẳng \(y = x - 3\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Vậy \(g\left( x \right)\) với \(x > 3\) có một tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 3\) và một tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = x - 3\).

Giải bài 1.30 trang 20 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một bình chứa ml dung dịch muối với nồng độ mg/ml.

a) Tính nồng độ dung dịch muối trong bình sau khi thêm vào ml dung dịch muối với nồng độ mg/ml.

b) Phải thêm bao nhiêu mililit dung dịch muối với nồng độ mg/ml vào bình vào bình để có dung dịch muối với nồng độ mg/ml? Nồng độ muối trong bình có thể đạt đến mg/ml không?

Lời giải chi tiết

a) Khối lượng muối trong ml dung dịch ban đầu là (mg).

Khối lượng muối trong ml dung dịch được thêm vào là (mg).

Nồng độ dung dịch muối sau khi thêm là (mg/ml).

b) Xét hàm số . Để có dung dịch muối với nồng độ (mg/ml) thì .

Ta có .

Do đó thêm vào bình ml dung dịch muối nồng độ ml/mg thì bình sẽ có nồng độ ml/mg.

Ta có . Do đó nồng độ muối trong bình không thể đạt đến ml/mg.