Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số - Toán 12 Cùng khám phá

Lý thuyết Đường tiệm cận của đồ thị hàm số Toán 12 Cùng khám phá

1. Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Đường thẳng $y=y_0$ gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu hoặc .

Ví dụ: Tìm TCN của đồ thị hàm số .

Ta có: .

Vậy đồ thị hàm số f(x) có TCN là y = 3.

2. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Đường thẳng gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:.

Ví dụ: Tìm TCĐ của đồ thị hàm số .

Ta có: .

Vậy đồ thị hàm số có TCĐ là x = -2.

3. Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

Đường thẳng gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu hoặc .

Ví dụ: Tìm TCX của đồ thị hàm số .

Ta có: .

Vậy đồ thị hàm số có TCX là y = x.

Giải mục 1 trang 15, 16 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Giải mục 2 trang 17, 18 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Giải mục 3 trang 19, 20, 21 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Giải bài tập 1.14 trang 21 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hàm số có đồ thị là đường cong như hình 1.26. Xác định phương trình đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang của hàm số.

Lời giải chi tiết

Ta có .

Suy ra đường thẳng là đường tiệm cận ngang của hàm số.

Ta có: .

Suy ra đường thẳng là đường tiệm cận đứng của hàm số.

Giải bài tập 1.15 trang 21 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Xác định các đường tiệm cận đứng của các đồ thị hàm số ( hình 1.27a) và (hình 1.27b).

Lời giải chi tiết

Đường tiệm cận đứng của hàm số là .

Đường tiệm cận đứng của hàm số là .

Giải bài tập 1.16 trang 22 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Tìm các đường tiệm cận của mỗi hàm số

a)   

b)   

c)   

d)   

Lời giải chi tiết

a)

Hàm số xác định trên R nên hàm số không có tiệm cận đứng.

Lại có vì y là hàm đa thức nên không có tiệm cận ngang.

b)

Ta có

Suy ra y = là đường tiệm cận ngang của hàm số.

Ta có .

Suy ra đường tiệm cận đứng của hàm số.

c)

Ta có: .

Suy ra hàm số không có đường tiệm cận ngang.

Ta có:

Suy ra là tiệm cận đứng của đồ thị.

Ta có:

Suy ra là tiệm cận xiên của đồ thị.

d)

Ta có:

Suy ra hàm số không có đường tiệm cận ngang.

Ta có:

Suy ra là tiệm cận đứng của đồ thị.

Ta có:

Suy ra là tiệm cận xiên của đồ thị.

Hàm số có đường tiệm cận đứng là và đường tiệm cận xiên là _.

Giải bài tập 1.17 trang 22 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Một thấu kính hội tụ có tiêu cự f=30cm như hình 1.28. Trong vật lý, ta biết rằng nếu đặt vật thật AB cách quang tâm O của thấu kính một khoảng d(cm) lơn hơn 30cm thì được ảnh thật A’B’ cách quang tâm của thấu kính một khoảng d’(cm). Ngược lại, nếu 0<d<30 thì ta có ảnh ảo. Công thức thấu kính là _.

a) Từ công thức thấu kính, tìm biểu thức xác định d’ theo d.

b) Xem biểu thức của d’ ở câu a là một hàm số theo d, kí hiệu là h(d). Tìm các đường tiệm cận của h(d).

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

 

b) Ta có

c)

Suy ra y = 30 là đường tiệm cận ngang của hàm số.

Suy ra x = 30 là đường tiệm cận đứng của h(d).

Giải bài tập 1.18 trang 22 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hàm số xác định trên và có đô thị là các phần đường cong như Hình 1.29. Xác định phương trình đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên( nếu có) của đồ thị hàm số đã cho.

Lời giải chi tiết

Dựa vào dồ thị hàm số ta thấy:

Đường thẳng x = và x = là đường tiệm đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Tiệm cận xiên cảu hàm số đã cho đi qua 2 điểm (0;2) và (1;0) nên đường tiệm xiên của hàm số có phương trình là y = - 2x + 2.

Giải bài tập 1.19 trang 22 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Tại một công ty sản xuất đồ chơi A, công ty phải chi 50 000 USD để thiết lập dây chuyền sản xuất ban đầu. Sau đó, cứ sản xuất được một sản phẩm đò chơi A. Công ty phải trả 5 USD cho nguyên liệu thô và nhân công. Gọi x () là số đồ chơi A mà công ty đã sản xuất và T(x) (đơn vị USD) là tổng số tiền bao gồm cả chi phí ban đầu mà công phải chi trả khi sản xuất x đồ chơi A. Người ta xác định chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm đồ chơi A là .

a) Xem M(x) là hàm số theo x xác định trên nữa khoảng  tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số này.

b) Nêu nhận xét về chi phí trung bình cho môi sản phẩm đồ chơi A khi x đủ lớn.

Lời giải chi tiết

a) Tổng số tiền phải chi trả để sản xuất x sản phẩm là T(x) = 50 000 + 5x. (USD).

Ta có:

Vậy tiệm cận ngang của đồ thị M(x) là

b) Khi x đủ lớn, chi phí trung bình để sản xuất 1 sản phẩm càng tiệm cận tới 5 USD.