Bài 3. Giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn - Toán 9 Cùng khám phá

HĐ

Trả lời câu hỏi Hoạt động trang 19 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Câu hỏi khởi động: Hai bạn Nam và An cùng vào một cửa hàng để mua bánh mì và trà sữa cho gia đình của mình. Bạn Nam mua 3 ổ bánh mì và 2 li trà sữa, bạn An mua 5 ổ bánh mì và 3 li trà sữa. Trên đường về nhà, hai bạn này ặp bạn Châu. Bạn Nam và bạn An cho bạn Châu biết số tiền mỗi bạn đã trả cho cửa hàng lần lượt là 120 000 đồng và 190 000 đồng. Biết rằng giá tiền mỗi ổ bánh mì là bằng nhau và giá tiền mỗi li trà sữa cũng bằng nhau. Hỏi giá tiền của một ổ bánh mì và giá tiền của một li trà sữa là bao nhiêu?

Hãy xác định giá tiền của một ổ bánh mì và một li trà sữa nêu trong phần Khởi động theo các hướng dẫn sau:

a) Gọi \(x\) và \(y\) (đơn vị nghìn đồng) lần lượt là giá tiền của một ổ bánh mì và một li trà sữa rồi đặt điều kiện cho chúng. Hãy lập biểu thức tính số tiền bạn Nam và bạn An phải trả theo \(x\) và \(y\).

b) Từ thông tin đã biết, hãy lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn theo \(x\) và \(y\).

c) Giải hệ phương trình trên để tìm \(x\) và \(y\).

d) Từ nghiệm tìm được trong câu c, xác định giá tiền của một ổ bánh mì và một li trà sữa.

Phương pháp giải:

Dựa vào gợi ý của bài toán kết hợp với giải hệ phương trình để tìm giá tiền của mỗi ổ bánh mì và giá tiền của một li trà sữa.

Lời giải chi tiết:

a) Gọi giá tiền mỗi ổ bánh mì là \(x\) (nghìn đồng, \(x > 0\))

       giá tiền mỗi li trà sữa là \(y\) (nghìn đồng, \(y > 0\))

Do bạn Nam mua 3 ổ bánh mì và 2 li trà sữa hết 120 nghìn đồng nên ta có phương trình:

\(3x + 2y = 120\).    (1)

Do bạn An mua 5 ổ bánh mì và 3 li trà sữa hết 190 nghìn đồng nên ta có phương trình:

\(5x + 3y = 190\). (2)

b) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 120\\5x + 3y = 190\end{array} \right.\).

c) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3 và phương trình thứ hai với 2, ta thu được hệ sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}9x + 6y = 360\\10x + 6y = 380\end{array} \right.\).

Trừ từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được:

\(\begin{array}{l}\left( {10x + 6y} \right) - \left( {9x + 6y} \right) = 380 - 360\\10x + 6y - 9x - 6y = 20\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\, = 20.\end{array}\)

Thay \(x = 20\) vào phương trình \(3x + 2y = 120\), ta có:

\(\begin{array}{l}3.20 + 2y = 120\\2y = 60\\y = 30.\end{array}\)

d) Vậy giá tiền của một ổ bánh mì là 20 nghìn đồng, giá tiền của một li trà sữa là 30 nghìn đồng.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 20 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Trong môn bóng rổ, mỗi quả ném phạt thành công sẽ được 1 điểm và mỗi quả ném vào rổ sẽ được 2 hoặc 3 điểm tùy theo khu vực ném. Trong một mùa giải, một vận động viên bóng rổ đã ghi được tổng cộng 1 243 điểm, trong đó anh ấy đã thực hiện thành công 237 quả ném phạt và tổng số các quả ném rổ thành công ở khu vực 2 điểm và khu vực 3 điểm là 496. Tìm số quả ném rổ thành công ở khu vực 2 điểm và khu vực 3 điểm mà vận động viên đã thực hiện trong mùa giải đó.

Phương pháp giải:

+ Lập hệ phương trình;

+ Giải hệ phương trình;

+ Kiểm tra nghiệm có thỏa mãn điều kiện của ẩn rồi trả lời cho bài toán ban đầu.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(x\) (quả) và \(y\) (quả) (\(x,y \in {\mathbb{N}^*};x,y < 496\)) lần lượt là số quả ném vào rổ thành công ở khu vực 2 điểm và khu vực 3 điểm.

Vì trong mùa giải, vận động viên bóng rổ đã ghi được tổng cộng 1 243 điểm, trong đó anh ấy đã thực hiện thành công 237 quả ném phạt nên ta có phương trình:

\(237 + 2x + 3y = 1243 \Leftrightarrow 2x + 3y = 1006\).

Vì tổng số quả ném rổ thành công ở khu vực 2 điểm và khu vực 3 điểm là 496 nên ta có phương trình: \(x + y = 496\).

Do đó ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 1006\\x + y = 496\end{array} \right.\).

Giải hệ phương trình trên, ta được \(x = 482\) (quả) và \(y = 14\)(quả).

Ta thấy \(x = 482\) và \(y = 14\) thỏa mãn điều kiện \(x,y \in {\mathbb{N}^*};x,y < 496\).

Vậy số quả ném vào rổ thành công ở khu vực 2 điểm và khu vực 3 điểm lần lượt là 482 quả và 14 quả.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 21 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Bảng bên dưới mô tả khối lượng (kg) nhôm và đồng để sản xuất ra một thiết bị điện tử A hoặc B.

Một xưởng sản xuất sử dụng hết 420 kg nhôm và 690 kg đồng để sản xuất các thiết bị điện tử A và B. Hỏi có bao nhiêu thiết bị điện tử mỗi loại được sản xuất.

Phương pháp giải:

+ Lập hệ phương trình;

+ Giải hệ phương trình;

+ Kiểm tra nghiệm có thỏa mãn điều kiện của ẩn rồi trả lời cho bài toán ban đầu.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(x\) (chiếc) và \(y\) (chiếc) \(\left( {x,y \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) lần lượt là số thiết bị điện tử loại A và loại B được sản xuất.

Do xưởng sản xuất sử dụng 420kg nhôm để sản xuất các thiết bị điện tử A và B nên ta có phương trình: \(2x + y = 420\).

Do xưởng sản xuất sử dụng 690kg đồng để sản xuất các thiết bị điện tử A và B nên ta có phương trình: \(3x + 2y = 690\).

Do đó ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 420\\3x + 2y = 690\end{array} \right.\).

Giải hệ phương trình trên, ta được \(x = 150\) và \(y = 120\).

Ta thấy \(x = 150\) và \(y = 120\) thỏa mãn điều kiện \(x,y \in {\mathbb{N}^*}\).

Vậy xưởng sản xuất được 150 thiết bị điện tử loại A và 120 thiết bị điện tử loại B.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 22 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Xác định các hệ số \(x\) và \(y\) trong phương trình phản ứng hóa học (đã cân bằng) sau:

\(xKMn{O_4} \to y{K_2}Mn{O_4} + Mn{O_2} + {O_2}\).

Phương pháp giải:

+ Lập hệ phương trình;

+ Giải hệ phương trình;

+ Kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Vì phương trình phản ứng hóa học nêu trên đã cân bằng nên lần lượt số nguyên tử của nguyên tố K, nguyên tố Mn và nguyên tố O ở hai vế của phương trình phải bằng nhau.

Do đó: \(x = 2y\) và \(4x = 4y + 4\). Vậy ta có hệ phương trình sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2y\\4x = 4y + 4\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 0\\x - y = 1\end{array} \right.\).

Giải hệ phương trình trên, ta được \(x = 2\) và \(y = 1\).

Vậy \(x = 2\) và \(y = 1\).

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 23 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Một xe khách chạy từ bến xe A đến bến xe B cách nhau 215km. Sau khi xe khách xuất phát được 1 giờ, một xe ô tô bắt đầu đi từ bến xe B đến bến xe A và gặp xe khách khi đã đi được 1 giờ 30 phút. Tính tốc độ của mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe ô tô đi nhanh hơn xe khách là 10km.

Phương pháp giải:

+ Lập hệ phương trình;

+ Giải hệ phương trình;

+ Kiểm tra nghiệm có thỏa mãn điều kiện của ẩn rồi trả lời cho bài toán ban đầu.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(x\) (km/h) và \(y\) (km/h) \(\left( {x,y > 0} \right)\) lần lượt là tốc độ của xe ô tô và xe khách.

Quãng đường xe khách đi tới lúc gặp nhau là: \(\left( {1 + 1,5} \right)y = 2,5y\) (km).

Quãng đường xe ô tô đi tới lúc gặp nhau là: \(1,5x\) (km).

Do sau khi xe khách xuất phát được 1 giờ, một xe ô tô bắt đầu đi từ bến xe B đến bến xe A và gặp xe khách khi đã đi được 1 giờ 30 phút nên ta suy ra: \(1,5x + 2,5y = 215\).

Do mỗi giờ xe ô tô đi nhanh hơn xe khách là 10km nên ta suy ra: \(x - y = 10\).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}1,5x + 2,5y = 215\\x - y = 10\end{array} \right.\).

Giải hệ phương trình trên, ta được \(x = 60\) và \(y = 50\).

Ta thấy \(x = 60\) và \(y = 50\) thỏa mãn điều kiện \(x,y > 0\).

Vậy tốc độ của xe ô tô và xe khách lần lượt là \(60\) km/h và \(50\) km/h.