Bài 3. Góc - Toán 12 Cùng khám phá

Lý thuyết Góc Toán 12 Cùng khám phá

1. Góc giữa hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d và d’ tương ứng có vecto chỉ phương , . Khi đó:

Lưu ý:

+ .

+ Nếu d//d’ hoặc dd’ thì .

+ .

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng:

d: và d’: .

Giải:

Đường thẳng d và d’ lần lượt có các vecto chỉ phương là và .

Ta có .

Vậy .

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d có vecto chỉ phương và mặt phẳng có vecto pháp tuyến . Kí hiệu là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng . Khi đó:

.

Lưu ý:

+ .

+ Nếu hoặc thì .

+ .

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng d: và mặt phẳng : .

Giải:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương , mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .

Ta có: .

Vậy .

3. Góc giữa hai mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng và tương ứng có các vecto pháp tuyến , . Khi đó, góc giữa và , kí hiệu là được tính theo công thức:

.

Lưu ý:

+ .

+ Nếu // hoặc thì .

+ .

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng: : và : .

Giải:

Mặt phẳng và lần lượt có các vectơ pháp tuyến là và .

Ta có: .

Vậy .

Giải mục 1 trang 67, 68 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 67 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho hai vectơ ngược hướng và là hai vectơ chỉ phương của đường thẳng và là vectơ chỉ phương của đường thẳng (Hình 5.26). Cho biết . Hãy tính số đo của hai góc: và . Từ đó chỉ ra mối quan hệ giữa hai góc và , giữa và .

Phương pháp giải:

Sử dụng tích vô hướng của hai vectơ để tính góc giữa chúng:

Lời giải chi tiết:

- Góc giữa và :

Ta sử dụng công thức cosin cho góc giữa hai vectơ:

Biết rằng và Vì là vector chỉ phương của d và là vector chỉ phương của d' nên góc giữa hai vector bằng góc giữa hai đường thẳng. Suy ra góc giữa và là .

- Góc giữa và :

Vì , ta có:

Suy ra:

Do đó, góc giữa và là .

- Mối quan hệ giữa hai góc:

Góc giữa hai đường thẳng và góc giữa hai vectơ chỉ phương và bằng nhau, tức là:

- Tương tự, mối quan hệ giữa và là:

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 68 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng d và d' trong các trường hợp sau:

a) và

b) và

Phương pháp giải:

Xác định vector chỉ phương của mỗi đường thẳng.

Sử dụng công thức cosin góc giữa hai vector: .

Tính góc từ giá trị cosin.

Lời giải chi tiết:

a)

Vector chỉ phương:

Áp dụng công thức:

Suy ra góc

b)

Vector chỉ phương:

Áp dụng công thức:

Do , nên

Giải mục 2 trang 68, 69 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 68 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho đường thẳng d có vector chỉ phương và mặt phẳng có vector pháp tuyến . Gọi d' là hình chiếu của d trên . Gọi là góc giữa d và , còn là góc giữa và .

Phương pháp giải:

Áp dụng các tính chất:

- φ và φ' là hai góc phụ nhau (φ + φ' = 90°).

- Sử dụng công thức lượng giác của góc phụ nhau.

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn là góc nhọn.

Lời giải chi tiết:

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là hai góc phụ nhau.

(góc phụ)

Vì vậy:

Do đó:

là SAI

là ĐÚNG

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 69 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng và các mặt phẳng tọa độ: , , .

Phương pháp giải:

- Xác định vectơ chỉ phương từ phương trình tham số của đường thẳng.

- Tùy vào mặt phẳng nào (Oxy, Oxz, Oyz), tìm vectơ pháp tuyến tương ứng của nó. - Sử dụng công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

với là vectơ chỉ phương của đường thẳng, và là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng là .

Vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng:

- Oxy:

- Oxz:

- Oyz:

Tính góc giữa đường thẳng và các mặt phẳng:

- Với mặt phẳng Oxy:

Do đó, góc .

- Với mặt phẳng Oxz:

Do đó, góc .

- Với mặt phẳng Oyz:

Do đó, góc .

Giải mục 3 trang 69, 70 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 69 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho hai mặt phẳng và lần lượt có các vectơ pháp tuyến là và . Lấy hai đường thẳng , cùng vuông góc với , và hai đường thẳng , cùng vuông góc với . (Hình 5.28) Hỏi hai góc và có bằng nhau không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất góc giữa hai đường thẳng sẽ bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng.

Lời giải chi tiết:

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là , và của mặt phẳng là .

Nếu hai đường thẳng và vuông góc với , và và vuông góc với , thì hai vectơ và lần lượt là hai vectơ chỉ phương của và , và .

Mà góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng nên

do cùng bằng với góc .

Vậy nếu vuông góc với và vuông góc với , thì hai góc và sẽ bằng nhau vì cùng liên quan đến vectơ pháp tuyến và .

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 70 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa mặt phẳng và các mặt phẳng toạ độ , , .

Phương pháp giải:

- Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa các vectơ pháp tuyến của chúng:

Trong đó, là tích vô hướng, và là độ lớn của các vectơ.

Lời giải chi tiết:

Cho mặt phẳng : .

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng : .

Góc giữa mặt phẳng và Oxy:

- Vectơ pháp tuyến của Oxy: .

Tích vô hướng:

Độ lớn:

Góc giữa mặt phẳng và Oxz:

- Vectơ pháp tuyến của Oxz: .

Tích vô hướng:

Độ lớn:

Góc giữa mặt phẳng và Oyz:

- Vectơ pháp tuyến của Oyz: . Tích vô hướng:

Độ lớn:

VD

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 70 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Để chuẩn bị cho chuyến đi dã ngoại, nhóm bạn Đức thiết kế lều cắm trại dạng hình chóp từ giác đều có đáy là hình vuông cạnh 4m. Theo bản vẽ thiết kế thì góc giữa hai mặt bên của lều bằng 60°. Bằng phương pháp tọa độ, hãy tính chiều cao của lều này.

Phương pháp giải:

- Xây dựng hệ tọa độ và xác định tọa độ các điểm

- Xác định vector pháp tuyến của các mặt bên

- Sử dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng qua vector pháp tuyến

- Giải phương trình để tìm chiều cao

Lời giải chi tiết:

Gọi h là chiều cao cần tìm của hình chóp S.ABCD.

Do mặt đáy là hình vuông cạnh 4m nên

Toạ độ các điểm là , , , và .

Vectơ chỉ phương của mặt phẳng SAB là và

Suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng SAB là

Vectơ chỉ phương của mặt phẳng SCD là và

Suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng SCD là

Ta có:

Góc giữa hai mặt phẳng SAB và SCD bằng 60° nên suy ra:

Vậy chiều cao của lều là m.

Giải bài tập 5.24 trang 70 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tính góc giữa đường thẳng $d : \frac{x + 3}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{1}$ với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Đối với phương trình chính tắc , vector chỉ phương của đường thẳng cũng là .

- Góc giữa hai đường thẳng có vector chỉ phương và được tính bởi:

Lời giải chi tiết

Vector chỉ phương của đường thẳng d là .

Góc giữa đường thẳng và trục Ox:

Tích vô hướng giữa và :

Độ dài .

Suy ra .

Góc giữa đường thẳng và trục Oy:

Tích vô hướng giữa và :

Suy ra .

Góc giữa đường thẳng và trục Oz:

Tích vô hướng giữa và :

Suy ra .

Giải bài tập 5.25 trang 70 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a)

b) .

c) .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Đối với phương trình tham số , vector chỉ phương của đường thẳng là .

- Đối với phương trình chính tắc , vector chỉ phương của đường thẳng cũng là .

- Góc giữa hai đường thẳng có vector chỉ phương và được tính bởi:

Lời giải chi tiết

a)

Vector chỉ phương của : .

Vector chỉ phương của: . Tích vô hướng:

Độ dài:

Suy ra .

b)

Vector chỉ phương của : .

Vector chỉ phương của: .

Tích vô hướng của hai vector chỉ phương:

Độ dài của và :

Góc giữa hai đường thẳng:

Suy ra:

c)

Vector chỉ phương của : .

Tích vô hướng của hai vector chỉ phương:

Vì , nên , hay hai đường thẳng vuông góc với nhau.

Giải bài tập 5.26 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng

a)

b) và

c)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho đường thẳng có vectơ chỉ phương và mặt phẳng có vectơ pháp tuyến , khi đó góc được tính theo công thức:

hoặc

Lời giải chi tiết

a)

- Vector chỉ phương của :

- Vector pháp tuyến của mặt phẳng :

b)

- Vector chỉ phương của d:

- Vector pháp tuyến của :

c)

- Vector chỉ phương của d:

- Vector pháp tuyến của :

Giải bài tập 5.27 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tính góc giữa các cặp mặt phẳng

a) $α : 3 x + 4 y + 5 z - 1 = 0$ và $β : 2 x + y + z - 3 = 0$

b) $α : x - y + 2 z - 1 = 0$ và $β : x + 2 y - z + 3 = 0$

c) $α : x + 3 y - 2 z - 1 = 0$ và $β : 4 x + 2 y + 5 z - 3 = 0$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(α)$ và $(β)$ lần lượt có các vectơ pháp tuyến là $⃗ n = (A; B; C)$ và ${⃗ n}^{'} = (A^{'}; B^{'}; C^{'})$ . Khi đó:

$cos ((α), (β)) = ∣ ∣ ∣ \frac{⃗ n \cdot {⃗ n}^{'}}{| ⃗ n | \cdot ∣ ∣ {⃗ n}^{'} ∣ ∣} ∣ ∣ ∣ = \frac{| A A^{'} + B B^{'} + C C^{'} |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}} \cdot \sqrt{{A^{'}}^{2} + {B^{'}}^{2} + {C^{'}}^{2}}}$

Lời giải chi tiết

a)

- Vector pháp tuyến của $α$ : $\to n_{1} = (3; 4; 5)$

- Vector pháp tuyến của $β$ : $\to n_{2} = (2; 1; 1)$

$\to n_{1} \cdot \to n_{2} = 3 \times 2 + 4 \times 1 + 5 \times 1 = 15$

$| \to n_{1} | = \sqrt{3^{2} + 4^{2} + 5^{2}} = \sqrt{50}, | \to n_{2} | = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{6}$

$cos θ = \frac{15}{\sqrt{50} \times \sqrt{6}} = \frac{15}{\sqrt{300}} = \frac{15}{10 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow θ = 30^{\circ}$

b)

- Vector pháp tuyến của $α$ : $\to n_{1} = (1; - 1; 2)$

- Vector pháp tuyến của $β$ : $\to n_{2} = (1; 2; - 1)$

$\to n_{1} \cdot \to n_{2} = 1 \times 1 + (- 1) \times 2 + 2 \times (- 1) = - 3$

$| \to n_{1} | = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}} = \sqrt{6}, | \to n_{2} | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{6}$

$cos θ = \frac{3}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow θ \approx 60^{\circ}$

c)

- Vector pháp tuyến của $α$ : $\to n_{1} = (1; 3; - 2)$

- Vector pháp tuyến của $β$ : $\to n_{2} = (4; 2; 5)$

$\to n_{1} \cdot \to n_{2} = 1 \times 4 + 3 \times 2 + (- 2) \times 5 = 0$

Vì $\to n_{1} \cdot \to n_{2} = 0$ nên hai vectơ pháp tuyến vuông góc với nhau, hay hai mặt phẳng vuông góc với nhau.

Giải bài tập 5.28 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho tứ diện OABC có , , , (). Gọi lần lượt là các góc giữa các mặt phẳng , , với mặt phẳng . Chứng minh rằng:

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xác định các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng và , sau đó áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng bằng cosin của góc giữa các vectơ pháp tuyến.

Lời giải chi tiết

Độ dài của các vectơ pháp tuyến:

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng : .

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng :

.

Tính cosin của các góc:

- .

Tổng các bình phương:

Vậy ta đã chứng minh được rằng:

Giải bài tập 5.29 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Một khuôn nướng bánh mì được mô phỏng trong không gian Oxyz như Hình 5.30 với các điểm sau: , , , , . Tính góc giữa hai cạnh kề nhau, giữa cạnh bên và mặt đáy, giữa mặt bên và mặt đáy của khuôn.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

1. Tính góc giữa hai cạnh kề

- Xác định vectơ chỉ phương của hai cạnh:

- Sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ:

2. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy:

- Xác định các vectơ chỉ phương của cạnh bên và mặt đáy.

- Sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ:

3. Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy:

- Tính vectơ pháp tuyến của mặt bên và mặt đáy.

- Sử dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng:

Lời giải chi tiết

- Tính góc giữa hai cạnh kề nhau:

Ta có các vectơ chỉ phương sau:

Góc giữa những cặp cạnh kề nhau:

Các cặp cạnh còn lại có số đo góc là 90°

- Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy:

Chọn một cạnh bên là ST.

Vectơ pháp tuyến của mặt đáy SPQH là:

- Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy của khuôn.

Chọn mặt bên là STEP

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng STEP là:

Góc giữa mặt bên STEP và mặt đáy SPQH là:

Giải bài tập 5.30 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong hệ trục tọa độ Oxyz, với mặt phẳng (Oxy) là mặt đất, một máy bay cất cánh từ vị trí với vận tốc .

a) Viết công thức tính tọa độ của máy bay trong 2 giờ đầu tiên.

b) Tính góc nâng của máy bay (góc giữa hướng chuyển động bay lên của máy bay với đường bằng) và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

1. Xác định tọa độ ban đầu và vectơ vận tốc.

2. Tính thời gian trong giây.

3. Viết công thức tọa độ:

4. Tính tọa độ sau thời gian xác định.

5. Tìm vectơ chỉ phương của hướng bay.

6. Tính góc nâng bằng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Oxy.

Lời giải chi tiết

a)

Theo đề bài, ta tính được tọa độ sau 2 giờ là:

b)

Vectơ chỉ phương của hướng bay là:

Vectơ pháp tuyến của mặt đất là:

Góc nâng của máy bay là:

Vậy góc giữa hướng chuyển động bay lên của máy bay với đường băng là .

Bài 3. Góc - Toán 12 Cùng khám phá

Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP12

Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub

Tải ứng dụng Tri Thức Hub