Bài 3. Hai mặt phẳng vuông góc Toán 11 Cùng khám phá

Hoạt động 1

Quan sát Hình 8.28, trả lời các câu hỏi:

a) Bốn cánh cửa kính 1, 2, 3, 4 (Hình 8.28) chia không gian thành bao nhiêu phần?

b) Bạn An (nữ, áo vàng) và bạn Bình (nam, áo xanh) ở phần không gian nào?

Phương pháp giải:

Quan sát hình ảnh.

Lời giải chi tiết:

a) Bốn cánh cửa kính chia không gian thành 4 phần.

b) Bạn An ở phần không gian chứa cánh cửa số 1 và 4, Bình ở phần không gian chứa cánh cửa số 1 và 2.

Hoạt động 2

Cho nhị diện \(\left[ {\alpha ,a,\beta } \right]\) và điểm O thuộc a. Vẽ mặt phẳng (P) qua O và vuông góc a. Gọi giao tuyển của (P) với các nửa mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) lần lượt là các tia Ox, Oy. Hỏi số đo góc xOy thay đổi như thế nào khi điểm O thay đổi trên a?

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ.

Lời giải chi tiết:

Số đo góc xOy không thay đổi khi điểm O thay đổi trên A.

Luyện tập 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), \(SA = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a\). Tính số đo của các góc nhị diện \(\left[ {S,BD,A} \right]\), \(\left[ {S,BD,C} \right]\).

Phương pháp giải:

Cách tìm số đo của góc nhị diện \(\left[ {S,CD,A} \right]\):

+ Tìm giao tuyến d của (SCD) và (ACD).

+ Tìm \(a \subset \left( {SCD} \right)\) vuông góc với d. Tìm \(b \subset \left( {ACD} \right)\) vuông góc với d.

+ Tính \(\left( {a,b} \right)\).

Lời giải chi tiết:

SA vuông góc với BD (Vì SA vuông góc với (ABCD))

AC vuông với BD (Vì ABCD là hình vuông)

Nên (SAC) vuông với BD

Trong (ABCD), gọi O là giao điểm của AC và BD

Suy ra SO vuông góc với BD

Mà: AO vuông góc với BD

Suy ra góc phẳng nhị diện \(\left[ {S,BD,A} \right]\) là góc SOA

ABCD là hình vuông cạnh a nên AC bằng \(\sqrt 2 a\). Suy ra AO = \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}a\)

\(\tan \widehat {SOA} = \,\frac{{SA}}{{AO}} = \frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}a}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}a}} = 1 \Rightarrow \widehat {SOA} = {45^0}\)

Ta có: SO vuông góc với BD, CO vuông góc với BD nên góc phẳng nhị diện \(\left[ {S,BD,C} \right]\) là góc SOC

\(\widehat {SOC} = {180^0} - {45^0} = {135^0}\)

Hoạt động 3

Quan sát khối rubik hình lập phương (Hình 8.33).

a) Hãy tính số đo của các góc nhị diện tạo bởi mặt đỏ và mặt xanh; mặt trắng và mặt xanh; mặt trắng và mặt đỏ.

b) Có hay không một đường thẳng a nằm trong mặt xanh và vuông góc với mặt đỏ?

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ.

Lời giải chi tiết:

a) Số đo giữa các góc nhị diện tạo bởi mặt đỏ và mặt xanh, mặt trắng và mặt xanh, mặt trắng và mặt đỏ đều bằng \({90^0}\).

b) Có đường thẳng nằm trong mặt xanh và vuông góc với mặt đỏ.

Hoạt động 2

Đặt cây bút chì d vuông góc với mặt bàn \(\left( \alpha  \right)\) và đặt một tấm bia cứng hình chữ nhật \(\left( \beta  \right)\) sao cho thân bút chì nằm trong tấm bìa (Hình 8.34). Ta có hình ảnh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) chứa d. Gọi a là giao tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\). Qua giao điểm O của a và d, vẽ một dường thẳng d’ nằm trong \(\left( \alpha  \right)\) và vuông góc với a. Hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\)và \(\left( \beta  \right)\) có vuông góc nhau không? Vì sao?

Phương pháp giải:

2 mặt phẳng vuông góc với nhau nếu một trong bốn nhị diện được tạo bởi 2 mặt vuông góc với nhau.

Lời giải chi tiết:

Hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\)và \(\left( \beta  \right)\) có vuông góc nhau. Vì nhị diện tạo bởi 2 mặt phẳng này là nhị diện vuông.

Luyện tập 2

Cho hình chóp S.ABC có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và tam giác ABC vuông tại B. Tìm các cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.

Phương pháp giải:

Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu mặt phẳng này có chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

Lời giải chi tiết:

\(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên (SAB), (SAC) vuông góc với (ABC).

AB vuông góc với AC, SA vuông góc với AB nên AB vuông góc với (SAC)

Suy ra (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau.

Hoạt động 5

Trong phòng khách của một căn nhà, bức tường và nền nhà vuông góc nhau. Họa sĩ về một hàng cây trên bức tường với thân cây vuông góc với gờ của mảng gỗ ép sát bức tường (Hình 8.37). Các cây này có vuông góc với nền nhà không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Đường thẳng d vuông góc với (P) nếu d vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau thuộc (P).

Lời giải chi tiết:

Các cây này có vuông góc với nền nhà. Vì các cây vuông góc với mép tường và các đường kẻ trên nền.

Luyện tập 3

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Chứng minh tam giác SCD cân tại S.

Phương pháp giải:

Cho 2 mặt phẳng vuông góc với nhau, mỗi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến đều vuông góc với mặt phẳng kia.

Chứng minh: SC = SD.

Lời giải chi tiết:

Gọi E là trung điểm của AB nên SE vuông góc với AB

Suy ra SE vuông góc với (ABCD)

\( \Rightarrow \)SE vuông góc với ED, EC nên tam giác SED vuông tại E, tam giác SEC vuông tại E

ABCD là hình vuông nên AB vuông góc với AD, BD. Suy ra tam giác AEB vuông tại A, BEC vuông tại B

Ta có: \(SD = \sqrt {S{E^2} + E{D^2}}  = \sqrt {S{E^2} + A{E^2} + A{D^2}} \)

\(SC = \sqrt {S{E^2} + E{C^2}}  = \sqrt {S{E^2} + B{E^2} + B{C^2}} \)

Mà: AE = BE, AD = BC nên SD = SC

Suy ra SCD cân tại S.

Hoạt động 6

Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\), \(\left( \beta  \right)\) cắt nhau theo giao tuyến d và cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( \gamma  \right)\). A là một điểm chung của \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\). Gọi a là đường thẳng qua A và vuông góc \(\left( \gamma  \right)\).

a) a có thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) không? Vì sao?

b) a có thuộc mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) không? Vì sao?

c) Từ đó, có kết luận gì về quan hệ giữa d và \(\left( \gamma  \right)\).

Phương pháp giải:

2 đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song hoặc trùng nhau.

Lời giải chi tiết:

a) a và d cùng vuông góc với \(\left( \gamma  \right)\). Suy ra a và d trùng nhau hoặc song song với nhau.

Mà A là điểm chung của \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\). Suy ra A phải thuộc d.

Mặt khác, A cũng thuộc a. Suy ra a chính là đường thẳng d.

b) a và đường thẳng d nên a thuộc \(\left( \beta  \right)\)

c) a chính là d. Suy ra d vuông góc với \(\left( \gamma  \right)\).

Luyện tập 4

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\).

Phương pháp giải:

Nếu 2 mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

Nếu một đường thẳng vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\end{array} \right. \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\)

\( \Rightarrow SO \bot BD\)

Mà: \(AC \bot BD\)

\( \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot BD\)

\( \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\)

Hoạt động 7

Quan sát Hình 8.41.

Xét hình lăng trụ (3). Biết rằng lăng trụ này có hai mặt bên chung cạnh AA’ là hai hình chữ nhật.

a) Cạnh AA' có vuông góc với mặt đáy không? Vì sao?

b) Các mặt bên còn lại là những hình gì? Vì sao?

Phương pháp giải:

a) Nếu một đường thẳng vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

b) Hình lăng trụ có các cạnh bên song song với nhau và các mặt bên là hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

a) Vì AA’ vuông góc với AB và AE nên AA’ vuông góc với (ABCDE).

b) Hình lăng trụ có các cạnh bên song song với nhau và các mặt bên là hình bình hành. Mà AA’ vuông góc với đáy nên các cạnh bên còn lại cũng vuông góc với đáy. Suy ra các mặt bên là hình chữ nhật.

Luyện tập 5

Tính độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ biết AA’ = 6a, AD = 3a, AB = 2a.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý Py-ta-go để tính A’C’. Từ đó tính AC.

Lời giải chi tiết:

ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật nên A’B’ = AB = 2a, B’C’ = BC = 3a

Xét tam giác A’B’C’ vuông tại B’ có:

\(A'C = \sqrt {A'B{'^2} + B'C{'^2}}  = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}}  = \sqrt {13} a\)

Xét tam giác AA’C vuông tại A’ có:

\(AC = \sqrt {AA{'^2} + A'{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {6a} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {13} a} \right)}^2}}  = 7a\)

Hoạt động 8

Trong mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\), vẽ một hình vuông ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD.

- Qua O, vẽ dường thẳng a vuông góc với \(\left( \alpha  \right)\).

- Trên đường thẳng a lấy điểm S khác O. So sánh độ dài các đoạn thẳng SA, SB, SC, SD và rút ra nhận xét về hình dạng các mặt bên của hình chóp S.ABCD.

Phương pháp giải:

Chứng minh tam giác SAC, SBD cân tại S và SA = SB.

Lời giải chi tiết:

\(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot AC,SO \bot BD\)

O là giao điểm AC và BD của hình vuông ABCD nên O là trung điểm của AC, BD

Suy ra tam giác SAC cân tại S, tam giác SBD cân tại S

Nên SA = SC, SB = SD

Ta có: \(SA = \sqrt {A{O^2} + S{O^2}} ,SB = \sqrt {B{O^2} + S{O^2}} \)

ABCD là hình vuông nên AO = BO

Suy ra SA = SB = SC = SD.

Luyện tập 6

Cho hình chóp lục giác đều S.ABCDEF có cạnh bên bằng 2a và cạnh đáy bằng a (Hình 8,43). Gọi O là tâm của đáy. Tính SO.

Phương pháp giải:

Đáy là hình lục giác nên AO = a. Áp dụng định lý Py-ta-go để tính SO.

Lời giải chi tiết:

ABCDEF là lục giác đều nên AO = a

Xét tam giác SAO vuông tại O có:

\(SO = \sqrt {S{A^2} + A{O^2}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = \sqrt 2 a\)

Hoạt động 9

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC (Hình 8,44).

a) Mặt phẳng (A’B’C’) có song song với mặt phẳng (ABC) không? Vì sao?

b) Tam giác A’B’C’ có phải là tam giác đều không? Vì sao?

c) Các tứ giác ABB'A', BCC’B’, ACC’A’ có hình dạng đặc biệt gì?

Phương pháp giải:

a) Nếu mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với (Q) thì (P) song song với (Q).

b) Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng một nửa cạnh đó.

c) Hình thang là tứ giác có 2 cạnh đáy song song với nhau.

Lời giải chi tiết:

a) A’, B’ là trung điểm của SA, SB nên A’B’ song song với AB

A’, C’ là trung điểm của SA, SC nên A’C’ song song với AC

(A’B’C’) song song với (ABC) vì A’B’ song song với AB, A’C’ song song với AC.

b) A’, B’ là trung điểm của SA, SB nên A’B’ = \(\frac{1}{2}\)AB

A’, C’ là trung điểm của SA, SC nên A’C’ = \(\frac{1}{2}\)AC

B’, C’ là trung điểm của SB, SC nên B’C’ = \(\frac{1}{2}\)BC

Mà AB = AC = CA nên A’B’ = A’C’ = C’A’

Vậy A’B’C’ là tam giác đều.

c) ABB’A’ là hình thang vì AB song song với A’B’

BCC’B’ là hình thang vì BC song song với B’C’

ACC’A’ là hình thang vì AC song song với A’C’.

Luyện tập 7

Cho hình chóp cụt tứ giác đều ABCD.AB’C’D’ có cạnh đáy lớn bằng 3a, cạnh đáy nhỏ bằng a, cạnh bên bằng 2a. Tính chiều cao của hình chóp cụt đều này.

Phương pháp giải:

Kẻ C’H, D’G vuông góc với CD. Suy ra C’H song song với D’G. Tính CH và áp dụng định lý Py-ta-go để tính C’H.

Lời giải chi tiết:

Kẻ D’H, C’G vuông góc với CD. Suy ra D’H song song với C’G

Mà C’D’ song song với CD

Suy ra D’C’GH là hình chữ nhật

\( \Rightarrow HG = C'G' = a\)

\( \Rightarrow DH + GC = 2a \Rightarrow DH = GC = a\)

Xét tam giác D’HD vuông tại H có:

\(D'H = \sqrt {DD{'^2} - D{H^2}}  = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {a^2}}  = \sqrt 3 a\)