Bài 3. Hàm số bậc nhất và đồ thị - Toán 8

Hoạt động 1

Quãng đường dài 8 km. Một xe máy đi từ về với tốc độ không đổi 40 km/h (Hình 5.20).

a)     Hãy cho biết quãng đường xe máy đi được sau x giờ. Gọi y (km) là khoảng cách giữa xe máy và địa điểm A sau x giờ. Hãy biểu diễn y theo x.

b)    Theo em, y có phải là hàm số của x không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Dựa vào mối quan hệ giữa đại lượng x và y mà đề bài cho, ta biểu điễn được y theo x. Để y là hàm số của x thì ta xét xem nếu với mỗi giá trị của đại lượng x xác định được chỉ một giá trị y thì ta nói y là hàm số của x và x là biến của y.

Lời giải chi tiết:

a)     Quãng đường xe máy đi được sau x giờ là: (km)

Gọi y (km) là khoảng cách giữa xe máy và địa điểm A sau x giờ:

b)    Theo em, y là hàm số của x vì mỗi giá trị của đại lượng x chỉ xác định được một giá trị của đại lượng y.

Luyện tập 1

Cho hàm số (biến x). Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho là hàm số bậc nhất?

Phương pháp giải:

Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức trong đó là các số cho trước và .

Lời giải chi tiết:

Để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất thì .

Vận dụng 1

Để đổi nhiệt độ từ độ C (Celsius) sang độ F (Fahrenheit), người ta có công thức .

a)     F có là hàm số bậc nhất theo C không?

b)    Nhiệt độ phòng là thì tương ứng bao nhiêu độ F?

c)     Trong điều kiện thường, nước sôi ở bao nhiêu độ F?

d)    Viết công thức tính C theo F. C có phải là hàm số bậc nhất của F không?

Phương pháp giải:

Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức trong đó là các số cho trước và .

Lời giải chi tiết:

a)     Hàm số là hàm số bậc nhất vì nó có dạng . Trong đó

b)    Thay vào công thức đổi nhiệt độ:

c)     Nước sôi ở , thay vào công thức đổi nhiệt độ ta có:

d)    Dựa vào công thức tính F, ta có công thức tính C như sau:

Công thức này không phải là hàm số bậc nhất vì nó không có dạng .

Vận dụng 2

Nhịp tim tối đa của một người là số nhịp tim cao nhất trong một phút của người đó khi tập thể dục mà vẫn đảm bảo sự an toàn cho tim mạch. Theo Hiệp hội Tim mạch Hoa Kỳ (AHA), nhọp tim tối đa H của một người bình thường phụ thuộc vào độ tuổi a của người đó theo công thức .

a)     H có là hàm số bậc nhất của a không?

b)    Dựa theo công thức trên, tính nhịp tim tối đa của một người bình thường nếu người đó 30 tuổi; 40 tuổi; 50 tuổi.

Phương pháp giải:

Dựa vào định nghĩa của hàm số bậc nhất: Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức trong đó là các số cho trước và .

Lời giải chi tiết:

a)     H là hàm số bậc nhất của a vì nếu đổi lại thành thì nó sẽ có dạng trong đó và .

b)    Nhịp tim tối đa của một người bình thường nếu người đó 30 tuổi là:

Nhịp tim tối đa của một người bình thường nếu người đó 40 tuổi là:

Nhịp tim tối đa của một người bình thường nếu người đó 50 tuổi là: .

Hoạt động 2

Cho hàm số .

a)     Tìm các giá trị tương ứng của hàm số trong Bảng 5.15.

b)    Vẽ một hệ trục tọa độ và đánh dấu các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng trong Bảng 5.15.

c)     Vẽ đường thẳng đi qua hai trong bốn điểm trên. Dùng thước thẳng kiểm tra xem đường thẳng này có đi qua hai điểm còn lại hay không.

d)    Lấy thêm một cặp số , với x chọn tùy ý khác bốn giá trị ở trên. Đánh dấu điểm biểu diễn cặp số đó lên mặt phẳng tọa độ . Dùng thước thẳng kiểm tra xem điểm vừa đánh dấu có thuộc đường thẳng đã vẽ ở câu c không.

Phương pháp giải:

Tìm các giá trị tương ứng trong bảng, dựa vào những giá trị đó vẽ hệ trục tọa độ biểu diễn các cặp giá trị tương ứng vừa tìm được

Vẽ đường thẳng đi qua hai trong bốn điểm trên. Dùng thước thẳng kiểm tra xem đường thẳng này có đi qua hai điểm còn lại không.

Lấy thêm một cặp số , với x chọn tùy ý khác bốn giá trị ở trên. Đánh dấu điểm biểu diễn cặp số đó lên mặt phẳng tọa độ . Dùng thước thẳng kiểm tra xem điểm vừa đánh dấu có thuộc đường thẳng đã vẽ ở câu c không.

Lời giải chi tiết:

a)     Các giá trị tương ứng của hàm số trong Bảng 5.15 là: .

b)    Vẽ hệ trục tọa độ

c)     Vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm. Dùng thước thẳng kiểm tra thấy đường thẳng này đi qua hai điểm còn lại.

d)    Lấy cặp số . Đánh dấu vào hệ trục tọa độ

Dùng thước thẳng kiểm tra ta thấy điểm vừa đánh dấu thuộc đường thẳng đã vẽ ở câu c.

Hoạt động 3

Hình 5.23 biểu diễn các điểm và trên mặt phẳng tọa độ.

a)     Nhận xét về sự song song giữa và ; và .

b)    Đồ thị hàm số có đi qua các điểm không?

c)     Đồ thị hàm số có đi qua các điểm không?

Phương pháp giải:

Với bất kì hoành độ x nào thì tung độ y của điểm thuộc đồ thị hàm số cũng nhỏ hơn hai đơn vị so với tung độ y tương ứng của điểm thuộc đồ thị hàm số . Đồ thị của hàm số là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm . Từ đó ta thấy rằng đồ thị hàm số là một đường thẳng song song với đường thẳng .

Lời giải chi tiết:

a)     Ta có:

Mà ta thấy  điểm O và O’ , điểm A va A’, điểm B và B’ đều có tung độ cách nhau 2 đơn vị với hoành độ lần lượt là 0, 1, 2.

b)    Ta có:

Với thì => đồ thị hàm số đi qua O

Với thì => đồ thị hàm số đi qua A

Với thì => đồ thì hàm số đi qua

c)     Ta có:

Với thì => đồ thị hàm số đi qua O’

Với thì => đồ thị hàm số đi qua A’

Với thì => đồ thị hàm số đi qua B’

Luyện tập 2

Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a)    

b)   

Phương pháp giải:

Để vẽ đồ thị hàm số , ta chỉ cần xác định hai điểm phân biệt thuộc đồ thị rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó.

Lời giải chi tiết:

a)    

Vẽ hệ trục tọa độ .

Cho ta được

Cho ta được

Đồ thì của hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm

b)   

Vẽ hệ trục tọa độ

Cho ta được

Cho ta được

Đồ thị của hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm

Vận dụng 3

Hãy trả lời câu hỏi trong phần Khởi động.

Các tác phẩm của danh hoạc Leonardo da Vinci không chỉ đặc sắc bởi tính nghệ thuật mà còn mang nhiều vẻ đẹp toán học. Khi vẽ người, ông quan tâm đến tỉ lệ chính xác của cơ thể nhằm tăng tính chân thức cho bức tranh. Ông đã vẽ bức tranh “Vitruvian Man” thể hiện ý tưởng về tỉ lệ hoàn mĩ của cơ thể người (Hình  5.19).

Trong bức tranh này, chiều cao của một người bằng tám lần chiều cao của đầu người đó (khoảng cách từ cằm đến đỉnh đầu). Đã từ lâu, đây là một quy chuẩn trong hội họa và sau này được nghiên cứu, phát triển ứng dụng trong kiến trúc

Từ bức tranh này, có thể biểu diễn mối quan hệ giữa chiều dài sải tay và chiều cao của một người như nào.

Phương pháp giải:

Dựa vào định nghĩa hàm số bậc nhất và mối quan hệ của chiều dài sải tay và chiều cao của một người để biểu diễn dưới dạng

Lời giải chi tiết:

Dựa vào bức tranh ta thấy chiều dài sải tay gấp ba lần chiều cao đầu của người đó. Gọi chiều dài sải tay là x thì chiều cao đầu người đó là .

Mà chiều cao của một người bằng tám lần chiều cao của đầu người đó: